Me estoy preparando para un final de mañana y de trabajo a través de una vieja pregunta de examen que tengo incorrecta y ya que no puedo encontrar una línea de contorno integral de la calculadora me preguntaba si mi (nuevo) la solución es correcta. La pregunta es
Considerar el contorno $C$ $ a$ z(t)=\begin{cases} e^{it} & t \in [0,\pi] \\ 1 + 2e^{it} & t \in [\pi, 2 \pi] \end{casos}. $$ Evaluar la ruta integral de la $$\int_{C} \frac{(z + 1)^2}{z} \, dz .$$
Para la primera parte de la curva de nivel, podemos simplyify el integrando: $$ \frac{(z+1)^2}{z} \cdot \frac{\overline{z}}{\overline{z}} = \frac{(z + 1)^2 \cdot \overline{z}}{|z|^2} $$ y llegamos $$ \begin{eqnarray*} \int_{0}^\pi (e^{it} + 1)^2\cdot (e^{-it}) \cdot (i e^{it}) \, dt & = & i \cdot \int_{0}^\pi (e^{it} + 1)^2 \, dt \\ & = & i \left[ \frac{e^{2it}}{2i} + \frac{2e^{it}}{i} + t\right]_{t = 0}^{t = \pi} \\ & = & \pi i - 4. \end{eqnarray*} $$ Para la segunda parte del contorno, tenemos $$ \int_{\pi}^{2 \pi} \frac{(2 + 2e^{es})^2}{1 + 2e^{es}} \cdot 2ie^{que} \, dt. $$ Si dejamos $u = 1 + 2e^{it}$,$du = 2i e^{it}\,dt$, y la integral se convierte en $$ \int_{-1}^3 \frac{(1 + u)^2}{u} \, du = \left[ \ln(u) + 2u + \frac{u^2}{2} \right]_{u = -1}^{u =3} = \ln(3) + 8. $$ Así que, a continuación, $$ \int_{C} \frac{(z + 1)^2}{z} \, dz= \ln(3) + 4 + i \pi. $$
Es esto correcto?
