Deje $E$ ser una normativa espacio vectorial con dos normas $\left \|\cdot \right \|_1$$\left \|\cdot \right \|_2$. Demostrar que esas normas son equivalentes si y sólo si para cada secuencia de Cauchy con respecto a una norma, también es de Cauchy con respecto a los otros.
Sólo tenemos que demostrar que $\text{id}:\left (E,\left \|\cdot \right \|_1\right )\to \left (E,\left \|\cdot \right \|_2\right )$ es continua. Ya que ambos son espacios de Banach, la asignación abierta teorema garantiza que $\text{id}$ es un homeomorphism, y por lo tanto, las normas son equivalentes.
Así que, pensé cerrado gráfico. Supongamos que hay una secuencia $x_n$, lo que tiende a $x$$\left \|\cdot \right \|_1$, e $x_n=\text{id}(x_n)$ tiende a $y$$\left \|\cdot \right \|_2$. Queremos $y=\text{id}(x)=x$.
Pero esto no es cierto en general: espacio de Banach con respecto a las dos normas debe ser de Banach respecto de la suma de las normas?
Es de suponer que el problema es que el ejemplo dado anteriormente no satisfacer la fuerte declaración: "para cada secuencia de Cauchy con respecto a una norma, también es de Cauchy con respecto a los otros".
Hay una sugerencia:
Si $(a_n)_n\subset \mathbb{R}$ tiende a $0$, entonces no existe otra secuencia $(\varepsilon_n)_n\subset \mathbb{R}_{>0}$ tal que $\varepsilon_n\to +\infty$ pero $\varepsilon_na_n\to 0$.
Pero no puedo ver cómo hacer uso de ella. ¿Cómo se podría solucionar el ejercicio?
EDIT: Este post ha sido marcado como un duplicado, pero creo que de una manera injusta. La cuestión de la equivalencia de las dos definiciones de la norma de equivalencia: "$|\cdot|_1=|\cdot|_2^\alpha$" vs "es una secuencia de Cauchy es el mismo para ambas normas"que hace uso de un conocimiento que está más avanzado con respecto a la simplificación de los conocimientos que estoy utilizando aquí. Yo no entendía de qué estaban hablando, porque no sé nada acerca de p-ádico de Análisis. Por otra parte, que el uso de las definiciones de la norma-la equivalencia de los que no estoy familiarizado con. Este es un ejercicio dado en una más básica del asunto, y nuestros profesores son de ninguna manera interesado en una solución como la que se indica en ese post (si es que realmente resuelve mi problema, que no puedo afirmar ya que yo no lo entiendo).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Suponga que $\text{id}:\left (E,\left \|\cdot \right \|_1\right )\to \left (E,\left \|\cdot \right \|_2\right )$ no está acotada, es decir, no existe $M > 0$ tal que $\|x\|_2 \le M\|x\|_1, \forall x \in X$. Por lo tanto, no existe una secuencia $(x_n)_n$ $X$ tal que $\|x_n\|_1 = 1$ $\|x_n\|_2 \ge n^2$ todos los $n \in \mathbb{N}$.
Considere la posibilidad de $\left(\frac1n x_n\right)_n$. Tenemos
$$\left\|\frac1n x_n\right\|_1 = \frac1n \xrightarrow{n\to\infty} 0$$
por lo $\frac1n x_n \xrightarrow{\|\cdot\|_1} 0$. En particular, $\left(\frac1n x_n\right)_n$ es de Cauchy w.r.t. $\|\cdot\|_1$ por lo que el supuesto implica que la $\left(\frac1n x_n\right)_n$ es de Cauchy w.r.t. $\|\cdot\|_2$. En particular, está vinculada con el respeto a $\|\cdot\|_2$. Por otro lado, tenemos
$$\left\|\frac1n x_n\right\|_2 \ge \frac1n \cdot n^2 = n$$
lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, no existe $M > 0$ tal que $\|x\|_2 \le M\|x\|_1, \forall x \in X$.
