¿Hay algún sentido universal de -ification (por ejemplo, groupification) en la categoría de teoría

Question

Tengo tres preguntas.

1:

¿El groupification de un semigroup siempre existen? Creo que este debería ser que sí, porque para cada $x$ en el semigroup sólo pudo definir un elemento $x'$ que debería funcionar como su inversa. Pero, ¿qué haría a continuación, pasar a la del producto $x'y$ $x,y$ elementos de la semigroup? Se siente como opciones (o tal vez no), de aquí que se mete cosas.

2:

Cuando la definición de la groupification, $G$, de un semigroup $S$ requieren, que vienen con un morfismos (de semigroups) $S \rightarrow G$ tales que cualquier otro de morfismos (de semigroups) de $S$ a otro grupo de $G'$ factorizes a través del mapa anterior. Exactamente qué tipo de objetos se pueden groupified? Supongo que uno no puede groupify un espacio topológico.

3:

Esta es una cuestión amplia, pero hay un cierto sentido de -ification? En el ejemplo, se podría sustituir por "grupo" por "espacio topológico" y hablar de topologyfication. Ahora, no hay tal palabra parecen existir, así que supongo que no se podía "topologyfy".

Podemos (creo) considerar la groupification functor de la categoría de semigroups a la categoría de grupos y debe ser adjunto a la olvidadizo functor de la categoría de grupos a la categoría de semigroups. Esto podría sugerir que necesitamos un poco de sentido de un olvidadizo functor, en primer lugar, para hablar de un -ification.

Disculpas por este mal la pregunta, a veces haciendo la pregunta correcta es tan duro como el contestador.

Answer 1

El nombre de la que realmente realmente de la construcción en general (que es, de hecho, en muchos casos, la izquierda adjunto de la olvidadizo functor) se llama a la finalización de un objeto. La idea básica es encontrar el 'más natural' o 'más pequeño' el objeto que tiene el original como un subobjeto, lo que significa que podemos extender la idea, dicen, el cierre de un subconjunto de un espacio topológico.

Aquí está la n-laboratorio de página si estás interesado...

Answer 2

Me tomo la libertad de responder sólo a las partes de la pregunta, a la que creo que puedo dar una respuesta precisa.

1: Sí, es llamado el grupo de Grothendieck $G(N)$ de la semigroup $S$. Esta construcción es functorial.

2: siempre Hay un canónica semigroup homomorphism $S\to G(S)$, pero esto no tiene que ser inyectiva en general. Por ejemplo, el grupo de Grothendieck correspondiente a $\mathbb N\cup\{\infty\}$ con la obvia además de la $(n+\infty=\infty)$ es trivial!

3: Sobre -ification en general, en el momento en que yo no tengo nada que añadir a BBischof grandes comentarios de arriba.

Answer 3

Como BBischof dice, el estándar de la noción de -ification es para tomar a la izquierda adjunto de un olvidadizo functor. Esto incluye a los siguientes casos especiales:

• El groupification de un monoid o semigroup,
• El grupo libre sobre un conjunto, el libre espacio vectorial sobre un conjunto, etc.
• El abelianization de un grupo,
• El anillo de grupo de un grupo (el olvidadizo functor aquí envía un anillo a su grupo de unidades),

y muchos otros ejemplos. No creo que uno puede razonablemente hablar universal -ification sin una elección concreta de los olvidadizos functor; si no hay buena opción existe, usted no conseguirá una buena noción de -ification, y por otro lado puede haber más de una opción.

(En particular, recuerdo haber leído que en al menos un ejemplo de la construcción natural es tomar a la derecha adjunto, pero no recuerdo lo que este ejemplo era.)

Answer 4

Para agregar a the Rasmus, la respuesta a 1. Uno no puede evitar de elementos como $x^{-1}y$ en el grupo de Grothendieck. Considere la posibilidad de decir los números naturales. Es Grothendieck del grupo es los números enteros. Como aditivo de nosotros escribir decir cuatro más el inverso de 6 $4-6$. Las cosas no son demasiado mal en el conmutativa caso: (en notación aditiva) todos los elementos de $G(S)$ tiene la forma $a-b$ con $a$, $b\in S$. Por otra parte $a-b=c-d$ fib no es $s\in S$ $a+d+s=b+c+s$ (y nos puede olvidarse $s$ si $S$ es cancellative).

Pero las cosas son más desagradable en la no conmutativa mundo. Volviendo para la notación multiplicativa, los elementos en $G(s)$ como $ab^{-1}cd^{-1}e$ que tal vez no simplificar a los más pequeños. Y no es así fácil para dar un criterio para cuando dos elementos son los mismos (o, equivalentemente, cuando un elemento es igual a la identidad). C'est la vie!