Raíces cuadradas de una matriz: Soluciones Diagonalizables.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema,

Encontrar todas las matrices diagonalizables $B$ tal que $$B^2 = \left(\begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{matrix}\right)$$

He diagonalizado la matriz en el lado derecho, por lo que podemos escribir $$B^2 = \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix}\right) $$

Sabemos que $B$ es diagonalizable, por lo que podemos escribir $$P_1 D_1^2 P_1^{-1} = \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix}\right) $$

Así, he encontrado las siguientes cuatro soluciones, todas ellas relacionadas con $P_1 = P$ con

$$ D_1 = \left(\begin{matrix} \pm \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{matrix}\right)$$

Mi pregunta es, ¿hay más soluciones? ¿Cómo podemos estar seguros de que hay/no hay más soluciones? Creo que si la diagonalización de la matriz es única, entonces estas deberían ser las únicas soluciones. ¿Es esta una idea válida?

Edición: He descubierto que la diagonalización es única hasta las permutaciones del orden de los valores y vectores propios. Esto implica cambiar las columnas en $P_1$ y en $D_1$ también son soluciones válidas, pero cuando $B$ se expande, surgen las mismas soluciones presentadas anteriormente.

Answer 1

Esto se reduce a probar las raíces cuadradas de $M=\pmatrix{2&0\\0&1}$ son sólo los cuatro distintos $\pmatrix{\pm\sqrt2&0\\0&\pm1}$ . Si $N^2=M$ entonces también $NM=MN$ . Mediante un cálculo que garantice que $N$ es una matriz diagonal, y las únicas matrices diagonales que cuadran a $M$ son el $\pmatrix{\pm\sqrt2&0\\0&\pm1}$ .

Más conceptualmente, si $MN=NM$ entonces los eigenspaces de $M$ son invariantes bajo $N$ y eso también implica $N$ es diagonal.

Answer 2

Dejemos que $A$ sea el $2$ -por- $2$ matriz, y esperamos averiguar todas las posibilidades de la matriz cuadrada $B$ que satisface $B^2=A$ . Podríamos concluir que no hay más posibilidad de que tal $B$ más allá de su propuesta, siguiendo estos dos pasos.

1. $B$ es diagonalizable.
2. Eigenspaces de $B$ es idéntica a la de $A$ .

Para el primer paso , tenga en cuenta que $$ \det\left(\lambda I-B\right)\det\left(\left(-\lambda\right)I-B\right)=\det\left(-\lambda^2I+B^2\right)=-\det\left(\lambda^2I-A\right). $$ Esta ecuación implica que

• Si $\mu$ es un valor propio de $A$ , entonces al menos uno de $\pm\sqrt{\mu}$ es un valor propio de $B$ y que
• Si $\lambda$ es un valor propio de $B$ entonces $\lambda^2$ es un valor propio de $A$ .

Gracias a su diagonalización para $A$ es evidente que $\mu=1,2$ son los valores propios de $A$ . De ahí que los dos hechos anteriores obliguen a $B$ para tener dos valores propios distintos. Como resultado, $B$ es diagonalizable.

Debido a la diagonalización de $B$ tenemos la descomposición $$ B=QDQ^{-1}, $$ donde $D=\text{diag}\left\{\lambda_1,\lambda_2\right\}$ con $\lambda_1,\lambda_2$ siendo los distintos valores propios de $B$ . Esto ayuda a procesar a los segundo paso . De hecho, $$ A=B^2=QD^2Q^{-1}\iff AQ=QD^2, $$ o, escribiendo en forma de columna-vector $Q=\left(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2\right)$ , $$ A\left(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2\right)=\left(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2\right)\left( \begin{array}{cc} \lambda_1^2&\\ &\lambda_2^2 \end{array} \right)\iff\left(A\mathbf{q}_1,A\mathbf{q}_2\right)=\left(\lambda_1^2\mathbf{q}_1,\lambda_2^2\mathbf{q}_2\right). $$ Recordemos que $\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2$ son vectores propios de $B$ porque $Q$ diagonaliza $B$ . El resultado anterior implica que cualquier vector propio de $B$ es un vector propio de $A$ . Más concretamente, dejemos que $E_{\lambda_1}^B$ sea el eigespacio de $B$ asociado a su valor propio $\lambda_1$ y este resultado implica que $$ E_{\lambda_1}^B\subseteq E_{\lambda_1^2}^A,\quad E_{\lambda_2}^B\subseteq E_{\lambda_2^2}^A. $$ Sin embargo, todos los $E_{\lambda_1}^B$ , $E_{\lambda_2}^B$ , $E_{\lambda_1^2}^A$ y $E_{\lambda_2^2}^A$ son unidimensionales, y el orden de dimensión obliga a $$ E_{\lambda_1}^B=E_{\lambda_1^2}^A,\quad E_{\lambda_2}^B=E_{\lambda_2^2}^A. $$ En otras palabras, los eigenspaces de $B$ es idéntica a la de $A$ .

Terminemos con nuestras conclusiones. Cualquier $B$ que satisfaga nuestra demanda debe observar la representación $$ B=QDQ^{-1}, $$ donde $D$ es una matriz diagonal formada por los valores propios de $B$ , mientras que $Q$ es una matriz invertible formada por los vectores propios de $B$ . Sin embargo, debido a nuestro primer paso, $D$ está determinada de forma única por los valores propios de $A$ , hasta alguna elección y permutación de más o menos; debido a nuestro segundo paso, $Q$ está determinada de forma única por el eigespacio de $A$ , de nuevo, hasta alguna permutación.

Por lo tanto, ya no hay posibilidad de $B$ más allá de su propuesta.