Cómo resolver la integración

Question

Cómo llegar a $$ \frac{\int_0^{\pi}x^3\log(\sin x)\,dx}{\int_0^{\pi} x^2 \log(\sqrt{2} \sin x)\,dx} $ $

No pude resolverlo usando integración por partes.

Answer 1

Usando series de Fourier, vemos que\begin{align} \log(\sin x)= -\log 2-\sum^\infty_{k=1}\frac{\cos(2kx)}{k} \end{align} $0\le x\le \pi$. Por lo tanto tenemos\begin{align} \int^\pi_0x^3\log(\sin x)\ dx =&\ -\log 2\int^\pi0x^3\ dx -\sum^\infty{k=1} \frac{1}{k}\int^\pi0 x^3\cos(2kx)\ dx\ =&\ -\frac{\pi^4}{4}\log 2 - \frac{3\pi^2}{4}\sum^\infty{k=1} \frac{1}{k^3} = -\frac{\pi^4}{4}\log 2- \frac{3\pi^2}{4}\zeta(3). \end {Alinee el} por otro lado, tenemos\begin{align} \int^\pi_0 x^2\log(\sqrt{2}\sin x)\ dx =&\ \int^\pi_0 \frac{1}{2}x^2\log 2+ x^2\log(\sin x)\ dx\ =&\ \frac{\pi^3}{6}\log 2 + \int^\pi_0 x^2\log(\sin x)\ dx\ =&\ \frac{\pi^3}{6}\log 2 -\log 2\int^\pi0x^2\ dx -\sum^\infty{k=1} \frac{1}{k}\int^\pi0 x^2\cos(2kx)\ dx\ =&\ -\frac{\pi^3}{6}\log 2 -\frac{\pi}{2}\sum^\infty{k=1} \frac{1}{k^3}= -\frac{\pi^3}{6}\log 2 - \frac{\pi}{2}\zeta(3). \end {Alinee el}

Entonces vemos que\begin{align} \frac{\int^\pi_0 x^3 \log(\sin x)\ dx}{\int^\pi_0 x^2\log(\sqrt{2}\sin x)\ dx} = \frac{-\frac{\pi^4}{4}\log 2- \frac{3\pi^2}{4}\zeta(3)}{-\frac{\pi^3}{6}\log 2 - \frac{\pi}{2}\zeta(3)} = \frac{3\pi}{2}. \end {alinee el}

Answer 2

$\newcommand{\intd}{\,\mathrm{d}}$ Alternativamente, y de manera bastante similar podría agregar, esto se puede hacer mediante la sustitución de $u=a+b-x$ donde $a$ $b$ son los límites de la integración. Será importante tener en cuenta que $\sin(\pi-x)=\sin x$, buscando en el numerador tenemos $I_1=\int_0^{\pi}x^3\log(\sin x)\,\mathrm{d}x$, con lo que la sustitución de $u=\pi-x$ y el cambio de la variable de a $x$ tenemos $$I_1=\int_0^\pi(\pi-x)^3\log(\sin x)\,\mathrm{d}x=\int_0^\pi(\pi^3-3\pi^2x+3\pi x^2-x^3)\log(\sin x)\,\mathrm{d}x$$ Adding $I_1+I_1$ we get $$2I_1=\int_0^\pi(\pi^3-3\pi^2x+3\pi x^2)\log(\sin x)\,\mathrm{d}x$$ We now have 3 resulting integrals which will be computed with the same method. Consider $I_2=\int_0^\pi x\log(\sin x)\intd x$, making the same substitution we have $I_2=\int_0^\pi(\pi-x)\log(\sin x)\intd x$ which implies $2I_2=\int_0^\pi \pi\log(\sin x)\intd x$ so $I_2=\frac\pi2\int_0^\pi\log(\sin x)\intd x$. Rewriting our expression for $I_1$ obtenemos \begin{align} \frac{\pi^3}{2}\int_0^\pi\log(\sin x)\intd{x}-\frac{3\pi^2}{2}\int_0^\pi x\log(\sin x)\intd{x}+\frac{3\pi}{2}\int_0^\pi x^2\log(\sin x)\intd x \end{align} Deje $I_3=\int_0^\pi\log(\sin x)\intd x$, esto implica $I_2=\frac\pi2I_3$ \begin{align} I_1&=\frac{\pi^3}{2}I_3-\frac{3\pi^2}{2}\cdot\frac\pi2I_3+\frac{3\pi}{2}\int_0^\pi x^2\log(\sin x)\intd x\\ &=-\frac{\pi^3}{4}I_3+\frac{3\pi}{2}\int_0^\pi x^2\log(\sin x)\intd{x} \end {align} Por manera similar en el denominador tenemos \begin{align} \int_0^\pi x^2\log(\sqrt2\sin x)\intd x&=\int_0^\pi \frac{x^2}{2}\log 2+x^2\log(\sin x)\intd{x}\\ &=\frac{\pi^3}{6}\log2+\int_0^\pi x^2\log(\sin x)\intd{x} \end{align} Todo lo que está a la izquierda para calcular la es$I_3$, con lo cual se hace mediante el uso de la misma sustitución. Tenemos que desde $I_3=\int_0^\pi\log(\sin(\pi-x))\intd{x}$ que $$I_3=2\int_0^{\frac\pi2}\log(\sin x)\intd{x}=2\int_0^{\frac\pi2}\log(\cos x)\intd{x}$$ De esto se sigue que \begin{align} I_3&=\int_0^\pi\log(\sin x)\intd{x}=2\int_0^{\frac\pi2}\log(\sin x)\intd{x}\\ &=\int_0^{\frac\pi2}\log(\sin x)\intd{x}+\int_0^{\frac\pi2}\log(\cos x)\intd{x}\\ &=\int_0^{\frac\pi2}\log(\sin x\cos x)\intd{x}=\int_0^{\frac\pi2}\log\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)\intd{x}\\ &=\int_0^{\frac\pi2}\log(\sin 2x)\intd{x}-\frac\pi2\log2\\ &\overbrace{=}^{u=2x}\frac12\int_0^\pi\ln(\sin u)\intd u-\frac\pi2\log2\\ &=\frac12I_3-\frac\pi2\log2 \end{align} Por lo $I_3=-\pi\log2$. Ahora hemos condensado la expresión de abajo a \begin{align*}\frac{\int_0^\pi x^3\log(\sin x)\intd{x}}{\int_0^\pi x^2\log(\sqrt2\sin x)\intd{x}}&=\frac{-\frac{\pi^3}{4}\cdot-\pi\log2+\frac{3\pi}{2}\int_0^\pi x^2\log(\sin x)\intd{x}}{\frac{\pi^3}{6}\log2+\int_0^{\pi}x^2\log(\sin x)\intd{x}}\\ &=\frac{\frac{\pi^4}{4}\log2+\frac{3\pi}{2}\int_0^\pi x^2\log(\sin x)\intd{x}}{\frac{\pi^3}{6}\log2+\int_0^\pi x^2\log(\sin x)\intd{x}} \end{align*} Por la inspección vemos que el numerador es $\frac{3\pi}{2}$ multiplicado por el denominador por lo que la respuesta final es $\boxed{\frac{3\pi}{2}}$. Curiosamente, a pesar de que mi enfoque no implica la serie de Fourier ni $\zeta(3)$ los pasos finales para la respuesta son notablemente similares. También es importante tener en cuenta que desde $x^2$ es incluso no pudimos hacer el mismo $\pi-x$ de sustitución para resolver para que la integral.