$f(x+1)=f(x)$ casi en todas partes

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ sea una función tal que $f(x+1)=f(x)$ casi en todas partes.

Quiero demostrar que existe una función $F$ tal que $F(x+1)=F(x)$ siempre se mantiene y $F(x)=f(x)$ casi en todas partes.

Creo que la intuición aquí es simple: dejemos que $x_0$ sea un número real, si cada $x\in x_0\mathbb{Z}$ satisface $f(x+1)=f(x)$ entonces definimos $F(x)=f(x)$ . Si hay un par de excepciones, las arreglamos y seguimos por cada $x_0\in \mathbb{R}$ . Sin embargo, no puedo formalizarlo.

Dejemos que $A=\{x\in\mathbb{R} : f(x+1)\neq f(x)\}$ . Desde $\mathbb{R}\setminus A$ es denso, para cada $x\in\mathbb{R}$ hay una secuencia en $\mathbb{R}\setminus A$ que converge a $x$ . Entonces tal vez podríamos definir $F(x)$ como $$\lim_{n\to\infty}f(x_n).$$

Estoy perdido.

Answer 1

Desde $f(x+1) = f(x)$ para casi todos los $x \in \mathbb{R}$ tienes que $\mu(A) = 0$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue y $A = \{x: f(x+1) \neq f(x)\}$ .

Obsérvese que para cada $n \in \mathbb{Z}$ , $n+A$ también tiene medida de Lebesgue $0$ ya que la medida de Lebesgue es invariante de la traslación. En particular, $B = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n+A)$ tiene medida de Lebesgue $0$ como una unión contable de conjuntos nulos de Lebesgue. Ahora definamos, por ejemplo $F(x) = f(x)$ para $x \not \in B$ y $F(x) = 0$ para $x \in B$ y comprueba que esto funciona.

Answer 2

Definir $F(x)=f(x\bmod 1)$ donde $x\bmod 1$ es el único elemento de $(x+\Bbb Z)\cap [0,1)$ . Entonces $F(x)\ne f(x)$ sólo si al menos uno de los números $x+n$ , $n\in \Bbb Z$ está en $A$ . Por lo tanto, $$\{\,x\in\Bbb R\mid F(x)\ne f(x)\,\}\subseteq \bigcup_{n\in\Bbb Z}(A+n) $$ Como $A$ es un conjunto nulo, también lo es la unión contable de las copias traducidas del mismo.