Matemática constructiva se distingue de su contraparte tradicional, matemática clásica, por la estricta interpretación de la frase "existe" como "podemos construir".
¿Hay cualquier resultado en matemática clásica que se utiliza ampliamente en aplicaciones (ingeniería, física, etc.) pero que no puede ser probada constructivamente?
El teorema del valor Intermedio nos viene a la mente.
Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, e $c$ es cualquier número entre el $f(a)$ $f(b)$ incluido, entonces existe al menos un número $x$ en el intervalo cerrado tal que $f(x)=c$.
Si bien se ve muy teórica en la naturaleza, es la base para una gran cantidad de análisis real. Es importante numéricos de las pruebas, y a su vez numérico matemáticas es importante para, por ejemplo, la Tomografía computarizada.
Sí, hay muchos de esos resultados. Por ejemplo, una herramienta muy común en las aplicaciones es la medida de Lebesgue, que se utiliza en áreas que van de la probabilidad a la física. Una característica familiar de la medida de Lebesgue es que un real positivo función tiene necesariamente positivo de la integral de Lebesgue. Sin embargo, esta propiedad depende del (de manera constructiva inaceptable) axioma de elección; vea esta 2017 publicación en el Análisis Real de Intercambio para obtener más detalles.
Algunas aplicaciones de la integración de Lebesgue en la física y la ingeniería se discuten aquí.
El teorema del valor extremo es un ejemplo típico de un resultado que mantiene clásico, pero es rechazado por Errett del Obispo constructivo de las matemáticas, y sustituido por el más débil versiones, donde el extremo no puede decirse que existen. El teorema del valor extremo es de extrema utilidad en muchas aplicaciones en la física, incluyendo la teoría de Calabi-Yau colectores. La existencia de tales entidades, depende en gran medida altamente no trivial de ecuaciones en derivadas parciales, donde la existencia de extremos es invocado una y otra vez. Consulte este artículo de 2011 en Intellectica para una discusión más detallada.
Por ejemplo, aquí se lee:
La teoría de cuerdas de Calabi-Yau colectores fue iniciada por Felipe Candelas, en colaboración con Horowitz, Strominger y Witten. Este se ha convertido en un tema rico, con una compleja interacción entre la geometría y propiedades topológicas de Calabi-Yau colectores y la física de partículas en cuatro dimensiones. De hecho, una de las características notables de la teoría de cuerdas es que, naturalmente, incluye los ingredientes correctos para la física de partículas, así como la gravedad. Uno encuentra que las diferentes Calabi-Yau colectores, con topológicas diferentes formas, conducen a los diferentes modelos de la física de partículas en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Por ejemplo, en los modelos más sencillos, el número de generaciones de partículas elementales (tres en el Modelo Estándar) está relacionado con el número de Euler de la Calabi-Yau colector.
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