Suma y resta con "?"y"!"

Question

Los símbolos "!" y "?" significa la suma y la resta, (no necesariamente en ese orden), pero para la resta puede ser la izquierda argumento para restar la derecha, o viceversa. por ejemplo, un!b puede ser a-b, a+b o b-a. Las Variables y los soportes que se pueden utilizar como de costumbre. Cómo escribir $20a-18b$ seguro, con 'a' y 'b'?

Mi intento: en el concurso, he encontrado una expresión que es igual a 2(a-b), pero no puedo recordar lo que era. Es como (la(a!b)?a)!(b?a)!b) o algo por el estilo. Pero no sé cómo agregar dos cosas diferentes en general.

Es posible formar una expresión que representan a+b?

Edit: $(a!a?a)?[(a!a)?(a!a)]=a$

Answer 1

Permítanme escribir las interpretaciones de cualquier cadena de usar ? y ! como una 4-tupla. La primera entrada es la interpretación donde ? es la suma y la ! es la resta, la segunda es donde ? es la suma y la ! es el inverso de la resta, la tercera es donde ? es la resta y ! es, además, y el cuarto es donde ? es el inverso de la resta y ! es además. Así, por ejemplo, voy a escribir $$a?b=(a+b,a+b,a-b,b-a)$$ and $$a!b=(a-b,b-a,a+b,a+b).$$

La clave del truco es que le puede negar una entrada de una tupla en un momento. De hecho, el primer aviso de que $$(a!a)?(a!a)=(0,0,0,0)$$ (and so I will subsequently abbreviate this string as just $0$). Therefore $$0!a=(-a,a,a,a),$$ $$a!0=(a,-a,a,a),$$ $$0?a=(a,a,-a,a),$$ and $$a?0=(a,a,a,-a).$$ Let me write the above four expressions as $F_1(a)$, $F_2(a)$, $F_3(a)$, and $F_4(a)$ (so $F_i$ just negates the $i$th de coordenadas).

Ahora es fácil hacer la suma y la negación. La adición $a+b$, puede ser como $$F_4(a)?F_3(b)=(a+b,a+b,a-(-b),b-(-a))=(a+b,a+b,a+b,a+b).$$ We can also make $-un$ as $F_1(F_2(F_3(F_4(a))))$. By composing addition and negation, we can now easily represent $ma+nb$ for any integers $m$ and $$n.