Examen con$12$ sí / no preguntas (medio sí, medio no) y$8$ correcto para aprobar, ¿es mejor responder aleatoriamente o responder exactamente 6 veces sí?

Question

En un examen con 12 preguntas sí/no con 8 correcta necesaria para aprobar, es mejor contestar al azar o responder exactamente 6 veces sí y 6 veces no, dado que la respuesta es 'sí' es correcta para exactamente 6 preguntas?

He calculado la probabilidad de pasar por adivinar al azar y es

$$\sum_{k=8}^{12} {{12}\choose{k}}0.5^k0.5^{n-k}=0.194$$

Ahora, dado que la respuesta es 'sí' está a la derecha exactamente $6$ a veces, es mejor, supongo que 'sí' y 'no' $6$ los tiempos de cada uno de ellos?

Mi idea es que puede ser modelado por el dibujo de bolas sin reemplazo. Las bolas que sorteo son las respuestas correctas a las preguntas.

Mirando a la primera pregunta, todavía sabemos que hay 6 el sí y el no de la que son correctos. La probabilidad de que un sí es correcto es $\frac{6}{12}$ y la probabilidad de que un no es derecho también es $\frac{6}{12}$.

Por supuesto, la probabilidad de que la siguiente pregunta depende de lo que la primera respuesta correcta era. Si sí era correcto, que sí estará a la derecha con una probabilidad de $5/11$ y no es justo con la posibilidad de $6/11$. Si no estaba en lo correcto, las probabilidades habría de cambiar lugares.

Ahora que tenemos para hacer la elección $12$ veces y hacer la distinción con la que fue a la derecha, llegamos $2^{12}$ rutas de acceso total. No podemos saber lo que las respuestas correctas a las preguntas anteriores fueron. Así que estamos dibujando $12$ bolas a la vez, pero de lo urna? No puede contener $24$ bolas con $12$ sí y $12$ no. Es este modelo correcto?

Hay una forma más elegante de enfoque?

Estoy pidiendo consejos, no en las soluciones, como me siento atrapado. Gracias.

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Edit: Después de dar a @David K la respuesta más lo pensaba, me di cuenta de que la pregunta puede ser descrita por la distribución hipergeométrica, lo que produce el resultado deseado.

Answer 1

Se nos da el hecho de que no se $12$ preguntas, que $6$ tienen la respuesta correcta "sí" y $6$ tienen la respuesta correcta "no".

Hay $\binom{12}{6} = 924$ diferentes secuencias de $6$ de respuestas "sí" y $6$ de respuestas "no". Si sabemos que nada de lo que nos dará una mejor oportunidad de responder a cualquier pregunta correctamente de pura suerte, la mayoría de los suposición razonable es que cada posible secuencia de respuestas es igualmente probable, es decir, cada uno tiene $\frac{1}{924}$ de probabilidad de ocurrir.

Así que supongo que "sí" $6$ a veces y el "no" $6$ veces. No me importa cómo hacerlo: usted puede adivinar "sí" para la primera $6$, o una moneda y la respuesta "sí" para los jefes y los "no" de las colas hasta que se han utilizado hasta el $6$ "sí" o $6$ "noes" y el resto de sus respuestas se ven obligados, o usted puede poner $6$ bolas con la etiqueta "sí" y $6$ marcado "no" en una urna, de la que sorteo de una en una, y responder a las preguntas en esa secuencia.

No importa lo que usted hace, usted puede terminar para arriba con una cierta secuencia de "sí" $6$ a veces y el "no" $6$ veces. Consigue $12$ correcta si y sólo si la secuencia de respuestas correctas es exactamente el mismo que el de su secuencia. Que probabilidad es de $\frac{1}{924}.$

No hay ninguna manera para que usted consiga $11$ correcto. Consigue $10$ correcta si y sólo si las respuestas son "sí" en la $5$ de sus respuestas "sí" y "no" en sus otras respuestas "sí". El número de maneras en que esto puede suceder es que el número de formas de elegir los $5$ respuestas correctas de su $6$ de respuestas "sí", multiplicado por el número de formas de elegir los $5$ respuestas correctas de su $6$ "no" respuestas: $\binom 65 \times \binom 65 = 36.$

No hay ninguna manera para que usted consiga $9$ correcto. Consigue $8$ correcta si y sólo si las respuestas son "sí" en la $4$ de sus respuestas "sí" y "no" en sus otras respuestas "sí". El número de maneras en que esto puede suceder es que el número de formas de elegir los $4$ respuestas correctas de su $6$ de respuestas "sí", multiplicado por el número de formas de elegir los $4$ respuestas correctas de su $6$ "no" respuestas: $\binom 64 \times \binom 64 = 225.$

En cualquier otro caso no. Así que la probabilidad de pasar es $$ \frac{1 + 36 + 225}{924} = \frac{131}{462} \approx 0.283550, $$ que es mucho mejor que la probabilidad de que pasa si simplemente lanzar una moneda para cada pregunta individual pero no tan buena como la obtención de $4$ o más cabezas en $6$ lanzar una moneda.

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Sólo para comprobar, podemos calcular la probabilidad de incumplimiento de la misma manera: $6$ respuestas correctas ($3$ "sí" y $3$ "no"), $4$ respuestas correctas, $2$ , $0$ correcto. Esta probabilidad viene a $$ \frac{\binom 63^2 + \binom 62^2 + \binom 61^2 + 1}{924} = \frac{400 + 225 + 36 + 1}{924} = \frac{331}{462} \approx 0.716450, $$ que es el valor que necesitaba para confirmar la respuesta anterior.

Answer 2

En términos de bolas y urnas: tal vez ayuda a pensar de la siguiente manera:

Tiene un color rojo de la urna y una urna azul, y usted tiene $6$ bolas rojas y $6$ bolas de color azul. De forma aleatoria poner $6$ de los doce bolas en el rojo de la urna, y el otro $6$ en la urna azul. Ahora bien: ¿cuál es la probabilidad de que al menos $8$ bolas en la "derecha" (es decir, los mismos colores) urna?

Bien, para conseguir $8$ correcto, usted necesita para obtener todos los $6$ bolas de color rojo en el rojo de la urna ($1$ posibilidad) o $5$ rojos y $1$ azul en el rojo de la urna (${6 \choose 5} \cdot {6 \choose 1} = 6 \cdot 6 = 36$ posibilidades) o $4$ rojos y $2$ azul (${6 \choose 4} \cdot {6 \choose 2} = 15 \cdot 15 = 225$ posibilidades). Este es de un total de ${12 \choose 6} = 924$ posibilidades, y por lo que la probabilidad es $\frac{1+36+225}{924}$

NOTA: Gracias a @DavidK por señalar mi respuesta inicial fue mal! Todos por favor upvote su respuesta!

Answer 3

Pruebe el siguiente método.

En primer lugar, asumir que la contestadora pone "sí" durante los primeros seis y los "no" de los últimos seis. Puesto que el orden de sus respuestas claramente no puede cambiar su probabilidad de pasar, esta es una buena suposición.

Tenga en cuenta que si hay $x$ de preguntas correctas en la primera mitad de la prueba, no se $x$ de preguntas correctas en la segunda mitad (pensar acerca de por qué). Por lo que es suficiente para obtener la probabilidad de que $4$ de la primera $6$ respuestas son sí.

Ahora, trata de calcular la probabilidad de que una ordenada al azar fila de $12$ bolas - $6$ "sí" y pelotas de $6$ "no" bolas-ha $4$ "sí" bolas entre los primeros a $6$ bolas en la fila.

Answer 4

Una manera rápida de encontrar la respuesta correcta, que en mi humilde opinión también nos da una idea de por qué esto funciona mejor que el 12 independiente de la moneda gira:

• Deje $X =$ no. de respuestas correctas si al azar adivinar exactamente 6 Sí y 6 No.

• Como otros han observado, $X \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12\}$.

• $P(X=6) = {{6 \choose 3}{6 \choose 3} \over {12 \choose 6}} = {400 \over 924} \approx 0.4329$.

• Por simetría, $P(X \ge 8) = {1 - P(X=6) \over 2} = {262 \over 924} \approx 0.2835$.

En mi humilde opinión, esto es en última instancia, ¿por qué este método funciona mucho mejor que el 12 de independiente coin flips. Si la calificación de aprobado el 7 respuestas correctas, el volteo de 12 independiente monedas habría sido mejor:

• Deje $Y =$ no. de respuestas correctas si le da la vuelta 12 independiente de monedas.

• $P(Y = 6) = {12 \choose 6} ({1\over 2})^{12} \approx 0.2256.$

• Por simetría, $P(Y \ge 7) = {1 - P(Y = 6) \over 2} \approx 0.3872.$

• Mientras tanto, por supuesto,$P(X \ge 7) = P(X \ge 8) \approx 0.2835$.

Sin embargo, la calificación de aprobado es de 8 respuestas correctas, y se han inventado un método que garantiza que no se tienen 7 respuestas correctas , eliminando la (inútil-a-le) a 7 respuestas correctas situación.

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Bonus: si la calificación aprobatoria es de 7 respuestas correctas, entonces la estrategia correcta es al azar la respuesta 5 (o 7) de ellos como Sí!

• Deje $Z =$ no. de respuestas correctas si usted adivinar al azar 5 Sí y 7 No. (La matemática es la misma si puedes adivinar 7 Sí y 5 No.)

• Los únicos valores posibles son $Z \in \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

• Por simetría, $P(Z \ge 7) = {1 \over 2} > P(Y \ge 7) \approx 0.3872 > P(X \ge 7 ) \approx 0.2835$.

Apuesto a que esta observación se generaliza: es decir, si la calificación de aprobado es extraño, supongo que 5 (o 7) como Sí, y si la calificación es igual, supongo que 6 como Sí. Qué manera de juego de un examen!

Answer 5

Fuerza bruta:

Supongamos que la respuesta tiene una posición ajustada de sí y no hay respuestas

Supongamos que adivinar 6 yesses, a continuación, el resto de ellos le responden que no.

Hay ${6 \choose k}$ maneras para que usted habrá adivinado $k$ de la de sí correcto. Si adivina $k$ yesses correctamente, entonces usted tiene adivinar $6-k$ yesses incorrectamente. Hay $6$ nos e $6-k$ de la debe ser en sitios en donde adivinado ellos sí incorrectamente. El resto de los $k$ debe ser en lugares que usted adivinado no. Así que usted va a haber conseguido $2k$ correcto.

Así que no es de ${6\choose k} $ formas para conseguir $2k$ $12$ correctamente y es imposible obtener un número impar correcta.

Así que el total de maneras de adivinar es $\sum_{k=0}^6 {6 \choose k}$ y el total de maneras de pasar se $\sum_{k=4}^6{6\choose k}$.

Por lo que la probabilidad de fallecimiento es $\frac {\sum_{k=4}^6{6\choose k}}{\sum_{k=0}^6 {6 \choose k}}$. Como ${6 \choose k} = {6\choose 6-k}$ sabemos ${\sum_{k=0}^6 {6 \choose k}}= {6\choose 3} + 2\sum_{k=4}^6 {6\choose k}$

Así que la probabilidad de fallecimiento es $\frac {{6\choose 4}+{6\choose 5} + {6\choose 6}}{2({6\choose 4}+{6\choose 5} + {6\choose 6}) + {6\choose 3}}=\frac {15 + 6 + 1}{2(15+6+1) + 20} = \frac {22}{64} = \frac {11}{32}$ más de $1$$3$.

Si usted adivinar al azar:

La probabilidad de que usted adivinar exactamente correcto es $\frac 1{2^{12}}$.

La probabilidad de que usted adivinar el primer error y el $2-12$ correctamente es el mismo $\frac 1{2^{12}}$, pero si puedes adivinar exactamente un mal allí se $12$ preguntas posibles que podría estar equivocado. Así que el probabiblity de que exactamente uno de tus supongo que está mal es $12*\frac 1{2^{12}}$.

Si usted adivinar exactamente $k$ mal hay ${12\choose k}$ maneras de hacer esto por lo que la probabilidad de adivinar exactamente $k$ mal es ${12\choose k}\frac 1{2^{12}}$.

Así que para adivinar $0, 1,2,3$ o $4$ mal es $\frac 1{2^{12}}({12\choose 0}+{12\choose 1}+{12\choose 2}+{12\choose 3}+{12\choose 4})=\frac 1{2^{12}}(1+12+66+220+ 495)= \frac {794}{4096} $ casi $1$$5$.

Así que primero es mejor.