Método de elemento finito: Pregunta sobre la estabilidad de la ecuación$u_{t}+au_{xxx}=f$

Question

Estoy tratando de determinar la estabilidad del PDE

ps

Dado el esquema de elementos finitos

ps

y constante s

ps

Mi problema es que no creo que esta ecuación sea elíptica, parabólica o hiperbólica, y esas son las únicas que sé cómo mostrar la estabilidad. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Hay un método, que se llama Von Neumann análisis.En lugar de $u^{n+1}_{i}$ $u^{n}_{i}$ debe sustituir un armónico de la exponencial de la serie de Fourier de expansión:$u_{k}^{n}=c_{k,n}e^{ipx}$; $u^{n+1}_{k}=c_{k,n+1}e^{ipx}$;$(p=\frac{\pi k}{l})$ - depende de cómo se han de su función se amplió. Para el resto de los valores:

$$u^{n}_{k+1}=c_{k,n}e^{ip(x+\Delta x)},u^{n}_{k+2}c_{k,n}e^{ip(x+2\Delta x)},u^{n}_{k-1}=c_{k,n}e^{ip(x-\Delta x)},u^{n}_{k-2}=c_{k,n}e^{ip(x-2\Delta x)} $$

Ahora les sustituyan a esquema numérico:

$$\frac{(c_{k,n+1}-c_{k,n})e^{ipx}}{\Delta t}+a\frac{c_{k,n}(e^{ip(x+2\Delta x)}-3e^{ip(x+\Delta x)}+3e^{ipx}-e^{ip(x-\Delta x)})}{\Delta x^3}=f^{n}_{i} $$

Después de que usted envíe $\frac{c_{k,n+1}}{c_{k,n}}=g$ -- el "factor de transición" y la constante de $s$. Después de que usted simplificar esta ecuación con el fin de obtener $$g=F(\Delta x,\Delta t, a) $$

Esta igualdad muestra, para que los parámetros de este régimen estable o no