Antecedentes
Un estudiante me pidió que demostrara que el tetraedro regular es la geometría de mínima energía disponible para describir las ubicaciones de los dominios de electrones en tres dimensiones - la predicción de la teoría de repulsión de pares de electrones de la capa de valencia (VSEPR) para un átomo central con 4 dominios de electrones que se repelen mutuamente. Una vez demostrado el tetraedro, se puede demostrar mediante la multiplicación de vectores que los ángulos entre todos los átomos sustituyentes es $109.5^{\circ}$ .
Algunas ideas
Se me ocurren varias formas de empezar esta prueba:
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Como ya hemos dicho, podríamos definir un tetraedro regular y trabajar hacia atrás para ver si la distancia entre todos los vértices es igual y se maximiza. Empezar con los vértices: A (0, 0, 0), B (1, 1, 0), C (1, 0, 1) y D (0, 1, 1), y un punto central O ( $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ). Con ellos, podemos obtener vectores que apunten a cada vértice. Llámalos $\vec{r_1}$ a través de $\vec{r_4}$ . Recordamos que podemos calcular el ángulo entre dos vectores cualesquiera utilizando las definiciones geométricas y algebraicas del producto punto. No os aburriré con los detalles de este cálculo, pero si alguien desea verlo, estaré encantado de compartirlo. Si lo hacéis veréis que todos los ángulos son iguales y se satisfacen: $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = \theta_i \approx 109.47122^{\circ}$ . A partir de aquí tendríamos que calcular las seis distancias entre los cuatro vértices para demostrar que las distancias son todas iguales.
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Utilizando el cálculo multivariable, podríamos tratar esto como un problema de optimización sujeto a la matriz de restricciones, $g$ la función de distancia de la suma cuadrada, $f$ y utilizar el formalismo de optimización descrito por Lagrange. Esto da como resultado un sistema de 13 incógnitas - los 4 puntos con tres coordenadas cada uno más $\lambda$ - y 13 ecuaciones: las cuatro ecuaciones de restricción más las nueve ecuaciones de derivación parcial del método de Lagrange:
$$g = 1 = \left\{\begin{array}{c}g_1(x_1,y_1,z_1) = {x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2\\ g_2(x_2,y_2,z_2) = {x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2\\ g_3(x_3,y_3,z_3) = {x_3}^2 + {y_3}^2 + {z_3}^2\\ g_2(x_4,y_4,z_4) = {x_4}^2 + {y_4}^2 + {z_4}^2\\ \end{array}\right.$$ $$f = \mathop{\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}}_{i<j}\left[\left({x_i}-{x_j}\right)^2+\left({y_i}-{y_j}\right)^2+\left({z_i}-{x_j}\right)^2\right] $$ $$\nabla f=-\lambda \nabla g$$
- En su lugar, se podría utilizar un enfoque similar al descrito anteriormente con coordenadas esféricas. Esta versión reduce el conjunto de variables de 13 a 8 (los cuatro conjuntos de dos ángulos para cada punto $\theta$ y $\phi$ 's; nótese que el radio esférico podría establecerse en 1 o en cualquier otra distancia de enlace, $a$ por lo que no es una variable). Esto podría reducirse aún más utilizando argumentos de simetría. Por ejemplo, si tomamos el primer vértice en el punto $(0, 0, 1)$ sabemos, por simetría, que si miramos el eje z en el plano xy, el ángulo entre los otros tres vectores debe tener un ángulo de $120^{\circ}$ con respecto a los demás. Que uno de los otros vértices tenga el punto $(x, 0, -\sqrt{1 - x^2})$ - satisfaciendo la restricción de radio de 1 unidad que hemos impuesto. Ahora, basándonos en la simetría, sabemos que los otros dos puntos deben ser $(x\cos(\frac{2\pi}{3}),x\sin(\frac{2\pi}{3}),-\sqrt{1-x^2})$ y $(x\cos(\frac{4\pi}{3}),x\sin(\frac{4\pi}{3}),-\sqrt{1-x^2})$ utilizando la simetría esférica. A partir de aquí, podemos escribir una fórmula para la suma total de la distancia al cuadrado entre todos los puntos y establecer la derivada con respecto a $x$ a cero para encontrar la distancia máxima de la suma cuadrada. Observa que hemos reducido el problema con estos argumentos de simetría de un problema de cálculo multivariable a un problema de cálculo BC. Alternativamente, podríamos utilizar algún otro método de conjetura y comprobación para resolver $x$ . Ten en cuenta que con este método deberíamos encontrar la misma respuesta que con los anteriores (y con los siguientes).
