Encontrar la integral $\int \frac{1}{x^2 \cdot \tan(x)} \ dx$

Question

Este problema parece muy complicado. Necesito encontrar la integral de

$$\int \dfrac{1}{x^2 \cdot \tan(x)} \ dx$$

¡Cualquier ayuda sería mucho apreció!

Answer 1

Utilizar la descomposición de $\frac{1}{\tan x}$ en fracciones simples:

$$\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{x^2-n^2\pi^2}$ $ Tan

% $ $$\frac{1}{x^2\tan x}=\frac{1}{x^3}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x(x^2-n^2\pi^2)}$y

$$\int\frac{dx}{x^2\tan x}=-\frac{1}{2x^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln\frac{\left |x^2-n^2\pi^2 \right |}{x^2}}{n^2\pi^2}+\text{const}$$

Por supuesto es cuestión de gustos, si el formulario está cerrado o no.

Answer 2

$\int x^{-2}(\tan x)^{-1}=\int x^{-2}\cot x$

entonces por partes u = $\cot x$, dv = $x^{-2}$

$\int x^{-2}\cot x= -x^{-1}\cot x-\int (-x^{-1})(-\csc^2x)=\int x^{-1}(-\csc^2x)-x^{-1}\cot x )$

Así $$ \int \frac {1}{x^2\tan x}= \frac {-\cot x}{x}-\int \frac {csc^2x}{x}+c$ $

Sí, no hay forma cerrada