Significado geométrico de un espacio vectorial

Question

Permita que$Q = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x,y > 0 \}$ sea un espacio vectorial sobre los números reales con las operaciones$$+:Q\times Q \rightarrow Q$ $$$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1x_2,y_1y_2)$ $ y$$\cdot : \mathbb{R} \times Q \rightarrow Q$ $$$c\cdot(x,y)=(x^c,y^c)$ $

Es fácil mostrar que esta estructura es un espacio vectorial, pero ¿qué pasa con el significado geométrico de estas operaciones? ¿Hay alguna?

Answer 1

Considere$\tilde x = \ln x$ y$\tilde y = \ln y$. Entonces$(\tilde x, \tilde y)$ es solo el estándar$\mathbb R^2$. Por lo tanto, su espacio vectorial es simplemente el estándar$\mathbb R^2$ utilizando coordenadas logarítmicas en lugar de coordenadas cartesianas.

Answer 2

Dejar $\mathbb R_{> 0} = \{x \in \mathbb R \mid x > 0 \}$. Tenga en cuenta que$\log\colon (\mathbb R_{>0},\cdot) \to \mathbb (\mathbb R,+)$ es un isomorfismo de grupos abelianos. Esto induce un isomorfismo$Q=\mathbb R_{>0}^2 \to \mathbb R^2, (x,y) \mapsto (\log x, \log y)$.

Ahora tenga en cuenta que bajo este isomorfismo, su multiplicación escalar se convierte en la habitual en$\mathbb R^2$ desde$\log(x^c) = c\log(x)$.

Entonces$Q$ es isomorfo a$\mathbb R^2$ con el$\mathbb R$ - estructura de espacio vectorial.