Calcule el resultado de la siguiente secuencia.

Question

Estoy atascado con esta secuencia.Yo no puedo calcular el resultado.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

$$A=\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + ... $$

Por favor, siéntase libre de editar las etiquetas si lo desea.Gracias

Por favor, no modifique la pregunta que estoy seguro que lo he escrito correctamente.

EDIT:El n-ésimo número de esta secuencia es evaluado por la fórmula: $\displaystyle\frac{n}{2^{n- 2([\frac{n}{2}])+1}}$ si no me equivoco.Debido a que el denominador se multiplica por 2 en primer lugar y, a continuación, por 4 y, a continuación, de nuevo por 2 y ... sigue así.

EDIT2:he cometido un gran error!El denominador sí es evaluado por : $\displaystyle d_n=2^{n- 2([\frac{n}{2}])+1} \times d_{n-1}$ donde $d_i$ $i$ th denominador.

EDIT3:se Puede hacer algo usando $2A-A=A$ ?Creo que esto debería ir conmigo a algún lugar pero no puedo averiguar.

Answer 1

Parece que podrías expresar esta serie$$C_n = \frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^4}+\frac{4}{2^5}+\frac{5}{2^7}+\frac{6}{2^8}+\dots$ $ como la suma de otras dos series$$C_n=A_n+B_n$ $ donde$$A_n=\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^4}+\frac{5}{2^7}+\frac{7}{2^{10}}+\dots$ $ y$$B_n=\frac{2}{2^2}+\frac{4}{2^5}+\frac{6}{2^8}+\frac{8}{2^{11}}+\dots$ $

Insinuación:

$8A_n - A_n = $?

Answer 2

Sugerencia: $$ \ frac {d} {dx} \ frac {1} {1-x} = \ frac {d} {dx} (1 + x + x ^ 2 + \ dots) $$

Answer 3

Insinuación

En el mismo espíritu que la respuesta de Ma Ming, considere$$A=\sum_{i=1}^{\infty} i x^i=x\sum_{i=1}^{\infty} i x^{i-1}$ $ where $% x = \ frac 12$. As written, $ A $ se parece a la derivada de una función que en sí misma es el desarrollo de una expresión bastante clásica, no es así?

Estoy seguro de que puedes tomar desde aquí.

Answer 4

Creo que el resultado es el siguiente:

$A=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{16}+...$

Esto es igual a:

$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i} - \sum_{i=1}^{\infty}\frac{3i}{2^{3i}} - \sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^{3i+1}}+\frac{i}{2^{3i+2}}$

Y probablemente puedas evaluar esto de alguna manera.

por cierto, la respuesta es$\frac{68}{49}$