Computación un explícito derivado del radón-Nikodym

Question

Q/ $\lambda$ ser la medida de Lebesgue y $\delta_0$ ser la medida de Dirac en 0. Mostrar que $\lambda$ es el abs cts wrt $\lambda+\delta_0$ (han hecho de esta parte) y encontrar el R-N derivado $\frac{d\lambda}{d(\delta_0+\lambda)}$

Por lo que entiendo que tengo que encontrar una verdadera valores de la función f st $\forall\; [a,b]\subset\mathbb{R}$ tenemos;

$\lambda([a,b])=b-a=\int_a^b f\;d(\delta_0+\lambda)$

Sin embargo, yo realmente estoy muy confundido por la $d(\delta_0+\lambda)$ al final de la integral viendo como no puedo convertirlo en una integral de Riemann, para intervalos de $[a,b]$ que no contienen 0 es claro que el $f=1$ desde $\int_a^b \;d(\delta_0+\lambda)=(\delta_0+\lambda)([a,b])=b-a$ sin embargo, cuando el 0 está contenida en el intervalo I no puede ver realmente lo que cabe.

Gracias

Answer 1

$$f(x) := \begin{cases} 1 & x \neq 0 \ 0 & x=0 \end{cases}$$ does the job. Indeed: For $a #

$$\begin{align} \int_a^b f(x) \, d(\delta_0+\lambda)(x) &= \int_a^b f(x) \, d\delta_0(x) + \int_a^b f(x) d\lambda(x) \ &= f(0) + \inta^b (1-1{{0}}(x)) \, d\lambda(x) \ &= 0 + (b-a). \end{align}$$

Aquí, hemos utilizado eso $$\inta^b 1{{0}}(x) \, d\lambda(x)=0$$ since $\lambda (\ {0}) = 0$.