¿$g$ Se comporta como$t^k$ cerca del origen?

Question

Me hicieron una pregunta similar primeros años, sin embargo, que la función satisface las hipótesis más, así que voy a preguntar de nuevo, por favor sea paciente conmigo. Supongamos $G:[0,\infty]\to [0,\infty]$ definido por $G(t)=\int_0^t g(s)ds$ es un (Joven o N) con la función de $g:[0,\infty]\to [0,\infty]$ $g\in C^1(0,\infty)$ (para na definición de Joven función, consulte aquí la página 13). Asumir que existe constantes $b_1,b_2>1$, $b_1<b_2$ de tal manera que (condición $\Delta_2$) $$b_1\leq \frac{tg(t)}{G(t)}\leq b_2$$

Entonces, podemos concluir que

$$G(1) t^{b_2}\leq G(t)\leq G(1) t^{b_1},\ \forall\ t\in [0,1]$$

Es posible encontrar constantes $c_1,c_2,k>0$ tal que $$c_1 t^k\leq G(t)\leq c_2 t^k$$

para las pequeñas $t$?

Actualización 1: he añadido algunas hipótesis que mejor se adapte a lo que quiero. También me gustaría señalar, que este problema viene desde el papel de Montenegro: la Singularidad de no negativo de soluciones de quasilinear ecuaciones elípticas. Dynam. Sistemas De Appl. 6 (1997), no. 1, 125-137. La instrucción es en la desigualdad de $(22)$ del papel.

Actualización 2: les he hecho esta pregunta. Creo que en nuestro caso aquí, $k=k_1=k_2$.

Gracias

Answer 1

Supongo que usted pregunta "si $G(t)$ siempre se comporta como $t^k$" (como en tu pregunta) en lugar de "si $g(t)$ siempre se comporta como $t^k$" (como en el título) para las pequeñas $t$.

La respuesta es No.

La pregunta es equivalente a la dada una monótona creciente $C^2$ función de $G : [0,\infty] \to [0,\infty]$ la satisfacción de: $$G(0) = 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad 1 < b_1 \le \frac{d \log G(t)}{d \log t} \le b_2 < \infty\text{ for }t \in (0,\infty)$$

Siempre es cierto que existe cierta $k_G > 0$ tal forma que:

$$k_G = \lim_{t\to 0+} \frac{\log G(t)}{\log t} \quad\text{ and }\quad \limsup_{t\to 0+} | \log G(t) - k_G \log t| < \infty$$

Definir $G(t)$ por: $$G(t) = \begin{cases}t^3 e^{f(\log t)}, & t > 0\\0, & t = 0\end{cases}$$ donde $f(s) = \sqrt[4]{s^2+1}$. No es difícil para cualquier $s \in (-\infty,\infty)$,

$$|f'(s)| = |\frac{s}{2(s^2+1)^{\frac34}}| \le \frac{1}{\sqrt[4]{108}} \sim 0.3102 $$

Esto implica para $t \in (0,\infty)$,

$$\frac{d \log G(t)}{d \log t} = 3 + f'(\log t) \implies 2.6 < \frac{d \log G(t)}{d \log t} < 3.4 $$ Además, el $t^3$ factor en $G(t)$ hacer que se caiga a cero lo suficientemente rápido como $t$ enfoques $0$ y gire a la $G(t)$ a una $C^2$ la función en $[0,\infty)$. Más precisamente, significa esto:

$$\begin{align} \lim_{t\to0+} G'(t) &= 0 = G'(0) \stackrel{def}{=} \lim_{h\to 0+}\frac{G(h)}{h}\\ \lim_{t\to0+} G''(t) &= 0 = G''(0) \stackrel{def}{=} \lim_{h\to 0+}\frac{G'(h)}{h} \end{align}$$ Aviso

$$\lim_{t\to0+}\frac{\log G(t)}{\log t} = \lim_{s\to-\infty}\frac{3s+f(s)}{s} = 3$$

$k_G$ esta $G$$3$. Sin embargo,

$$\limsup_{t\to0+}|\log G(t) - k_G \log t| = \limsup_{s\to-\infty}|f(s)| \ge \limsup_{s\to-\infty}\sqrt{|s|} = \infty$$

Esto significa que, en general, $G(t)$ necesidad de no comportarse como cualquier $t^k$ pequeña $t$.

Answer 2

Puedes pensar en tu extracto como encontrar las constantes$c_{1}, c{2}, k>0$ de manera que$c_{1}t^k \leq a_{1}t^{b_{2}} \leq a_{2}t^{b_{1}} \leq c_{2}t^k$$\forall t\in[0,1]$
$c_{1} \leq a_{1}t^{b_{2}-k} \leq a_{2}t^{b_{1}-k} \leq c_{2}$$\forall t\in[0,1]$
Ahora si$k < b_{2} \Rightarrow \lim_{t\to0}a_{1}t^{b_{2}-k}=0 \Rightarrow c_{1}=0$ es imposible.
Entonces $k \geq b_{2}$.
Ahora si$k > b_{1} \Rightarrow \lim_{t\to0}a_{2}t^{b_{1}-k}=\infty \Rightarrow c_{2}=\infty$ es imposible.
Entonces $k \leq b_{1}$.
Como$b_{2} > b_{1}$ no existe tal$k$.
Y para darle una pista de cómo imaginar un contraejemplo, piense si$g(t)$ oscila entre las 2 funciones de delimitación sin frenar su convexidad.