Me estaba preguntando, si tengo una esfera geodésica de radio uno en un múltiple M cuya curvatura seccional se encuentra entre - epsilon y epsilon para epsilon pequeño y el radio de la inyectabilidad de mi colector es decir dos, y tengo una hipersuperficie mínimo SINGULAR de paso M ¿por el centro de mi bola de la unidad, puedo encontrar un límite inferior, lejos de cero, en el volumen de la hipersuperficie mínimo singular dentro de la bola, en términos de solamente la dimensión del ambiente M colector? ¡Gracias!
Respuesta
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Baltimark
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@Deane, cuando M es el espacio Euclidiano, esto es una consecuencia de la monotonía, que es uno de los hechos más fundamentales de las superficies mínimas.
Como para la pregunta original, yo creo que la respuesta es SÍ si la hipersuperficie S es minimizar en M. Pensar de S como estar sentada en la Euclidiana bola determinado por coordenadas geodésicas. Por supuesto, S ya no es la minimización de la distancia Euclídea pelota, pero la curvatura de los límites debe darle el control sobre la relación de las áreas calculadas wrt para el ambiente métrica vs áreas calculadas respecto de la métrica Euclidiana. Así que, a pesar de cualquier "competidor" de la superficie puede tener Euclidiana área menor que la de S, debe contar con área mayor que |S|/C para algunas grandes constante C. Utilizando una modificación de la norma monotonía argumento, esto es suficiente para obtener un límite inferior en el área de S. (Para esta parte, consultar arxiv 0705.1128 la Sección 5 para obtener más detalles).
Como para cuando S no es necesariamente minimizar, supongo(?) que la respuesta está sí. Una idea es mirar en la prueba de Allard de la monotonía de la fórmula y en la cuenta de lo que ocurre en la presencia de curvatura.
También sospecho que todo esto está escrito en su totalidad la generalidad y el rigor... en algún lugar.
