Comparación entre productos infinitos y series

Question

Necesito ejemplos de los siguientes hechos:

1) $\prod_{j=0}^{+\infty}(1+a_{j})$ converge $\nRightarrow \prod_{j=0}^{+\infty}(1+|a_{j}|)$ converge

2) $\prod_{j=0}^{+\infty}(1+a_{j})$ converge $\nRightarrow \sum_{j=0}^{+\infty}a_{j}$ converge

3) $\sum_{j=0}^{+\infty}a_{j}$ converge $\nRightarrow \prod_{j=0}^{+\infty}(1+a_{j})$ converge

donde $a_{j} \in \mathbb{C}$ .

¿Alguna pista?

Answer 1

Debería saber (si no lo ha hecho todavía, a partir de ahora) que $\prod\limits_{n=1}^\infty (1+\lvert a_n\rvert)$ converge si y sólo si $\sum\limits_{n=1}^\infty \lvert a_n\rvert$ converge. Eso hace que la primera sea bastante fácil, elegir una serie condicionalmente convergente tiene una buena oportunidad de hacer $\prod (1+a_n)$ convergen pero no $\prod (1+\lvert a_n\rvert)$ . Si el primer intento no tiene éxito, inténtalo en otra ocasión.

Para la segunda y la tercera no-implicación, observe que

$$\prod_{n=1}^\infty (1+a_n) \text{ converges } \iff \sum_{n=1}^\infty \log (1+a_n) \text{ converges},$$

siempre que ninguno de los $a_n$ tiene el valor $-1$ (cuando $\log (1+a_n)$ no está definido), y tomamos la rama principal del logaritmo cuando $\lvert a_n\rvert < 1$ .

Así que si escribimos $\lambda_n = \log (1+a_n)$ tenemos $a_n = e^{\lambda_n}-1 = \lambda_n + \frac{1}{2}\lambda_n^2 + O(\lambda_n^3)$ .

Entonces se puede elegir una secuencia $\lambda_n$ tal que $\sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n$ converge (condicionalmente), $\sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n^2$ diverge, y $\sum\limits_{n=1}^\infty \lvert \lambda_n\rvert^3$ converge.

La tercera es muy similar, ya que

$$\log (1+a_n) = a_n - \frac{1}{2}a_n^2 + O(a_n^3),$$

se puede utilizar la secuencia $\lambda_n$ (o $i\lambda_n$ ) del segundo como $a_n$ .