Una frase falsa en un campo de característica $0$ pero cierto en todos los campos de la característica positiva?

Question

Considerar el lenguaje de $L=\{+,\cdot, 0, 1\}$ de los anillos. Es fácil mostrar el uso de compacidad que si $\sigma$ es una frase que tiene en todos los campos de la característica $0$, hay algunos $N\in \mathbb N$ tal que $\sigma$ tiene para todos los campos de la característica $p\geq N$. Una especie de converse sería, si $\sigma$ es una frase que tiene en todos los campos de la característica positiva, $\sigma$ que es verdad en todos los campos de la característica $0$. No tengo idea de cómo llegar hasta con un contraejemplo o una prueba de ello.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

La solución canónica es utilizar el hecho de que $x^2 + y^2 = -1$ tiene una solución en cada campo finito, lo que puede ser demostrado por una cuenta simple argumento. Que la ecuación tiene solución en cualquier campo de característica positiva, debido a que es soluble en el primer subcampo. Pero no en $\mathbb R$.

Esta es la misma idea como la otra respuesta, pero la prueba de solvencia es más fácil que el de 4 plazas teorema.

Para la pregunta general de lo que se puede hacer en el primer orden de teoría de anillos de carácter distinto de 0 y característicos $p$, hay brillantes resultados en este (y otros varios asuntos) en Bjorn Poonen del papel en http://arxiv.org/abs/math/0507486 .

Answer 2

El teorema de los cuatro cuadrados se obtiene el siguiente teorema en característica positiva:

$$\exists a,b,c,d : a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 = 0$$