¿Cómo se evalúa esta serie?

Question

Ingresé a esta serie en Mathematica para ver si se podía simplificar y logró dar una forma en términos de la función gamma parcial. Sin embargo, no sé cómo se deriva esta fórmula y estoy interesado en saber cómo se puede hacer algo así.

ps

Supongo que se usa la siguiente serie$$\sum _{k=0}^n \frac{\log ^{n-k}(x)}{(n-1)^{k+1} x^{n-1} (n-k)!}=\frac{\;\Gamma (n+1,\;(n-1)\log x) }{(n-1)^{n+1}\;n!}$ $ Donde$$\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}$ es un número entero.

Sin embargo, después de alguna manipulación, ni siquiera pude obtener la cantidad original de la respuesta.

Answer 1

Considere la serie \begin{align} S(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{\ln^{n-k}(x)}{(n-1)^{k+1} x^{n-1} (n-k)!} \end {align} donde al invertir el orden de la suma la serie se convierte en \begin{align} S(x) &= x^{1-n} \, \sum_{k=0}^{n} \frac{\ln^{k}(x)}{k! \, (n-1)^{n-k+1}} \\ &= \frac{x^{1-n}}{(n-1)^{n+1}} \, \sum_{k=0}^{n} \frac{[(n-1) \, \ln(x)]^{k}}{k!}. \end {align} Ahora desde la serie de función gamma incompleta \begin{align} \Gamma(s,y) = (s-1)!\, e^{-y} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{y^k}{k!} \end {align} se puede ver que, donde$s = n+1$ y$y =(n-1) \, \ln(x)$, \begin{align} \Gamma(n+1, (n-1) \, \ln(x)) = n! \, x^{1-n} \, \sum_{k=0}^{n} \frac{(n-1)^{k} \, \ln^{k}(x)}{k!} \end {align} y conduce al resultado deseado \begin{align} \sum_{k=0}^{n} \frac{\ln^{n-k}(x)}{(n-1)^{k+1} x^{n-1} (n-k)!}=\frac{\Gamma (n+1, \, (n-1)\ln(x)) }{(n-1)^{n+1} \, n!} \end {align}