${{2\pi i=0}}$?

Question

Estaba tratando de resolver $i^i$. Lo consiguió distraído e hicimos lo siguiente:
$e^{i \theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$
$e^{i 2\pi} = cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1$ ||| Tomar ln() de dos lados de la ecuación:
$\ln(e^{i2\pi}) = \ln(1)$
$i2\pi = 0$
Claramente esto es falso. ¿Lo que hizo que mal? Tenga en cuenta que soy un estudiante de grado noveno y por lo tanto no estoy familiarizado con la mayoría del cálculo.

Answer 1

Usted puede llegar a la conclusión de que $2i\pi=0$.

Si $f$ es un inyectiva función, usted puede, de hecho, sostienen que $f(x)=f(y)$ implica $x=y$. Sin embargo, la función exponencial no es inyectiva. De hecho, es periódica con período de $2i\pi$: $$ e^{z+2i\pi}=e^z $$ para cada complejo de $z$. El complejo logaritmo es una bestia salvaje, en comparación con el estándar de funciones: no puede ser la inversa de la exponencial exactamente debido a la exponencial no es inyectiva; es un ejemplo de varios valores de la función y no puede ser utilizado como estándar de funciones.

Answer 2

Usted debe preguntarse, si han entendido las definiciones de todos los objetos relevantes?

Resulta, que la definición de $\ln$ no es tan fácil de hacer para los números complejos, y que una definición de la $\ln$ no tiene la agradable propiedades que tienen para los números reales.

Por ejemplo $$ \ln(e^z) = z $$ no necesita ser cierto para un número complejo $z$. (esto puede ser considerado como un error en su pregunta)

Sólo porque algo es cierto para los números reales, no significa que lo mismo también es cierto para los números complejos.

Answer 3

Salió mal en el supuesto de $z\to e^z $ era de uno a uno. Como $e^{z+2\pi i}=e^z*e^{2\pi i}=e^z (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)=e^z*1=e^z$, claramente no es uno-a-uno .

Por lo tanto no podemos asumir $e^z=e^w\implies z=w $.

Y así, si definimos $\ln w=v $ si $e^v=w$, que no es un único valor de función única.

De hecho, $z=a+bi;a,b\implies \mathbb R $ implica $e^z=e^a (\cos b +i\sin b)=e^a (\cos (b+k2\pi)+i\sin (b+k2\pi))=e^{z+2k\pi i} $ para algunos entero $k $. Por lo tanto podemos concluir $e^v=e^w $ implica $v=w+2k\pi i$.

Así que cuando definimos $\ln v=w $ si $e^w=v $ no es un único valor de la función. Se trata de una "función de varios valores" donde $\ln z $ no es igual a un valor de $u$. Es igual a un número infinito de valores de los números complejos, algunos de los múltiples de $2i\pi $ además, de los cuales, $u $ es sólo un ejemplo.

Por lo $e^{2\pi i}=e^0=1\implies \ln e^{2\pi i}=\ln 1\implies 2\pi i=0 +2k\pi i$ para algunos entero $k$. El que lo hace!