¿Dependencia lineal de estas funciones?

Question

Cómo puedo comprobar si estas tres funciones (que pertenecen al espacio vectorial $R^R$) son linealmente dependientes:

$$e^{2x}, e^{3x}, x$$

Si $\alpha, \beta, \gamma ∈ R$ y escribir la combinación lineal como:

$$\alpha e^{2x}+\beta e^{3x}+\gamma x = 0$$

¿Cómo puedo saber si la declaración es solamente correcto si todos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ $zero$?

Answer 1

El caballo de batalla para problemas como esto es Wronskian. Poner\begin{align} f(x) &= e^{2x} & g(x) &= e^{3x} & h(x) &= x \end{align} y definir W(x) $$ =\begin{bmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \ f^\prime(x) &g^\prime(x) & h^\prime(x) \ f^{\prime\prime}(x) & g^{\prime\prime}(x) & h^{\prime\prime}(x) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e^{2x} & e^{3x} & x \ 2e^{2x} &3e^{3x} & 1 \ 4e^{2x} & 9e^{3x} & 0 \end{bmatrix} $$ si existe un $x$ tal que $\det W(x)\neq 0$, entonces el ${f,g,h}$ es linealmente independiente. En nuestro caso, tenga en cuenta que $$ \det W (0) = \det\begin{bmatrix}1&1&0\2&3&1\ 4&9&0\end{bmatrix} = 5 $$ por lo tanto, nuestras funciones son linealmente independientes.

Answer 2

En general, las funciones $f, g, h \in C^2(\mathbb R)$ son linealmente independientes si para el real constantes $a, b, c \in \mathbb R$

$$af + bg + ch = 0, \text{ the zero function } \Rightarrow a = b= c = 0$$

Tenga en cuenta que $af + bg + ch = 0$ implica $af' + bg' + ch' = 0$$af'' + bg'' + ch'' = 0$. Estas tres ecuaciones implican $a = b = c = 0$ si el determinante

$$W(f,g,h) = \left| \begin{matrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ f'' & g'' & h'' \end{matrix} \right|$$ es distinto de cero. Este determinante se llama la Wronksian, por lo tanto el $W$. En otras palabras, el $3 \times 3$ matriz $\left( \begin{matrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ f'' & g'' & h'' \end{matrix} \right)$ ha trivial kernel.

En su caso,

$$\begin{align} W(e^{2x}, e^{3x}, x) & = \left| \begin{matrix} e^{2x} & e^{3x} & x \\ 2e^{2x} & 3e^{3x} & 1 \\ 4e^{2x} & 9e^{3x} & 0 \end{de la matriz} \right| \\ y = e^{5} \left| \begin{matrix} 1 & 1 & x \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 9 & 0 \end{de la matriz} \right| \\ y = e^{5}(6x - 5) \\ & \neq 0 \quad\quad\quad\quad \text{ , como una función } \end{align}$$

Answer 3

Si la declaración sostiene, es cierto para todas las $x$. Por lo tanto, hay que para tomar cuatro valores de $x$ (digamos, $1,2,3,4$) que dan un sistema lineal de cuatro ecuaciones, que es incompatible.