Encontrar una función $f(x)$ tal que $\forall \epsilon \gt 0, f(x) = f(x + \epsilon)$

Question

Nuestro profesor nos preguntó si podemos encontrar una función $f(x)$ tal que $\forall \epsilon \gt 0, f(x) = f(x + \epsilon)$. En otras palabras, una función que es periódico, no importa lo pequeño que elegir el período de $\epsilon$.

También dijo que:

1. La función constante $f(x) = c$ satisface la ecuación anterior, pero mira para otro.
2. Esta función no puede ser trazado o algo así, no entendí esta parte.

Consejos sobre esto?

EDIT: por Lo tanto, como yo esperaba, al $\epsilon \in \mathbb{R}$, sólo el constante funciones son soluciones válidas.

¿Y el caso de $\epsilon \in \mathbb{Q}$?

Answer 1

Deje $x\in \Bbb R$ y poner $\varepsilon=y-x$, para cualquier $y>x$. A continuación,$f(x)=f(x+\varepsilon)=f(y)$. Desde $y>x$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que $f(x)=f(y)$ por cada $y>x$. Ahora, como $x\in\Bbb R$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que $f(x)=f(y)$ todos los $x,y\in\Bbb R$, es decir, la única de las funciones de la satisfacción de la propiedad son constantes funciones.