Deje $R$ ser un anillo conmutativo con $1$ $R[x]$ ser el polinomio anillo de más de $R$. Sabemos que el Jacobson radical $J(R[x] )$ $R[x]$ es la intersección de todos los máximos ideales de la $R[x]$. Ahora vamos a $M$ ser un fijo (pero arbitrario) ideal maximal de a $R[x]$. ¿Cómo podemos demostrar que $J(R[x])=\cap_{M\not=N\in \mathrm{Max}(R[x])}N$ donde $\mathrm{Max}(R[x])$ es el conjunto de todos los máximos ideales de la $R[x]$?
Respuesta
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Lo que quiero mostrar es la siguiente:
$f\not \in M \implies f\not \in N $ para algunos máxima ideal $N\neq M$. $(*)$
Vamos $M'=R\cap M$, $R'=R／M'$ y $f'=[f]\in R'$. Entonces cualquier ideal maximal en $R'[x]$ que no contengan $f'$ corresponden a un ideal maximal en $R[x]$ que no contengan $f$. Así que si podemos demostrar $(*)$ para el anillo de $R'$, $(*)$ también es cierto para $R$. Por lo tanto podemos suponer $R$ es una parte integral de dominio, y $R\cap M=0$.
Tenga en cuenta que ya tenemos una contradicción si $R$ es un campo, esto se desprende de que $R[x]$ tiene una infinidad de elementos principales, y sólo un número finito de ellos se puede dividir $f$. Así que podemos suponer $R$, no es un campo, en particular, suponemos $R$ es infinito.
Deje $K=R[x]/M$, respecto $R$ como un sub-anillo de $K$. Supongamos $M$ es el núcleo de la surjective mapa de $R[x]\to K$ envío de $x$$\alpha \in K$. Para cualquier $r\in R$, vamos a $M_r$ ser núcleo de la surjective mapa de $R[x] \to K$ envío de $x$ $\alpha+r$(y corregir $R$). Desde $R$ es infinito, podemos puede $r$, de modo que $\alpha+r$ no es un conjugado de $\alpha$, e $f(\alpha+r)\neq 0$. A continuación, $M_r\neq M$ es otra de las máximas ideal que no contengan $f$.
