Subgrupo de $C^*$ (distinto de cero complejo) con índice finito.

Question

Verdadero o falso:

Deje $C^*$ ser el conjunto de todos los distinto de cero de los números complejos y $H$ ser un subgrupo de $C^*$(con respecto a la multiplicación) ser tal que $[C^*:H]$ es finito, a continuación,$H=C^*$.

Supongo que es cierto, ya que estoy pensando que si supongamos que existe una adecuada subgrupo $H$ para las que el número de coset será finito entonces yo supongo que hay una brecha entre las $C^*$ $H$ y la brecha no puede ser llenado por finito de la unión. Pero soy incapaz de dar un hormigón probar. Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos $H$ ha finito índice en $\Bbb C^\times$, vamos a $m=[\Bbb C^\times:H]$. Entonces para cualquier número complejo distinto de cero, $z^m\in H$. Ahora, dada $w\in\Bbb C$ siempre podemos solucionar $z^m-w=0$, lo $w\in H$.

Alternativamente, una torsión divisible abelian grupo es trivial. Ahora $\Bbb C^\times /H$ es de torsión, ya que es finito, y es divisible, por lo que debe ser trivial.

Answer 2

De manera más general, un (abelian) divisible grupo no trivial subgrupos de índice finito. La prueba es esencialmente la misma que para esta pregunta.