Si el pullback de $F:M \to N$ es un isomorfismo, es $F$ un diffeomorphism?

Question

Deje $M,N$ ser suave colectores, y deje $F:M \to N$ ser un suave mapa. A continuación, $F$ induce un mapa de $F^*: C^\infty(N) \to C^\infty(M)$, dado por $F^*(f)=f \circ F$. Supongamos que $F^*$ es un isomorfismo.

P1: Es $F$ un bijection?

P2: Es $F$ un homeomorphism? (Esto implicaría que $F$ es un diffeomorphism.)

Answer 1

La respuesta para ambas preguntas es "sí".

a) La surjectivity de $F^*$ ya implica que $F:M\to N$ es un cerrado $C^\infty $ incrustación.
Esto no es muy difícil y de una prueba se puede encontrar en la página 24 de ese libro.

b) Si $F$ no surjective, usted podría tener cualquier punto de $n\in N\setminus F(M)$ fuera de la imagen de $F$, y la construcción de un golpe la función $f\in C^\infty (N)$ $f(n)=1$ y con el apoyo disjunta de la cerrada submanifold $F(M)$.
Entonces las igualdades $F^*(f)=F^*(0)=0\in C^\infty (N)$ violaría la inyectividad de $F^*$.
Esta contradicción demuestra que $F$ es en realidad surjective y, además de ser un cerrado de incrustación, es en realidad un diffeomorphism.

Answer 2

Vamos a demostrar que $F$ es inyectiva. Supongamos por contradicción $F(x)=F(y)$. A continuación,$F^*(g)(x) = g(F(x)) = g(F(y)) = F^*(g)(y)$. Pero existe $f\in C^\infty(M)$ tal que $f(x)\neq f(y)$ $F^*(g)\neq f$ y esto es cierto para cada $g\in C^\infty(N)$. Por lo tanto $F^*$ no es surjective.