Necesariamente complejo de la analítica de las pruebas en el álgebra.

Question

¿Alguien sabe de un ejemplo en el complejo análisis es necesario para demostrar algo en el álgebra?

Yo estaría especialmente interesado en los resultados de la teoría de grupo o de la teoría de Galois.

En una respuesta ideal,

1. el teorema debe ser puramente algebraica en la naturaleza,

2. la prueba debe ser complejo analítica en un paso crucial, y

3. el resultado debe ser improbable (o, al menos, no comprobados) puramente métodos algebraicos.

Para elaborar estos criterios, por (1) me refiero a que la declaración del teorema debe ser independiente de análisis, es decir, no algo como "Vamos a $\alpha=$ (algunos complejo integral). A continuación,$G(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q})=\ldots$". Por (2) me refiero a que estoy buscando algo donde los números complejos no son meramente presente, pero debe ser utilizado de forma analítica. Así, el teorema de Maschke, por ejemplo, no se aplicaría solo porque implica espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$. Por último, (c) significa en primer lugar que yo no estoy en busca de pruebas alternas de resultados conocidos, no importa cómo mucho más simple que puede ser (sin TLC).

Gracias por la lectura.

Answer 1

Tomar del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, o Chebotarev densidad; estoy seguro de que hay un montón de otros resultados analíticos en la teoría de números que también funcionará.

Seguro, teoremas probados con L-funciones de densidad de las declaraciones, que son analíticas en la naturaleza, pero estos pueden ser debilitado a la existencia de declaraciones; es decir. existen una infinidad de números primos de la forma $a+nk$ al $(a,n)=1$, y existe una infinidad de números primos en un abelian extensión con un determinado Frobenius elemento.

EDIT: veo en la wikipedia que no es un elemental de la prueba conocida por Dirichlet del teorema. Pero no se llegó a lo largo de más de 100 años después de la $L$-función de prueba.

Answer 2

Para citar Hartshorne de "Geometría Algebraica":

Si $X$ es un nonsingular variedad de más de $\mathbf{C}$, entonces podemos considerar también la posibilidad de $X$ como un complejo colector. Todos los métodos de análisis complejo y la geometría diferencial puede ser utilizado para el estudio de este complejo colector. ... Esta es una muy potente método, que ha producido y sigue produciendo muchos resultados importantes, demostrado por estos llamados "trascendental métodos," para que no puramente algebraica de las pruebas son conocidos.

Él da un ejemplo del uso de la secuencia exacta

$$ 0 \to \mathbf{Z} \to \mathbf{C} \xrightarrow{f} \mathbf{C}^* \to 0 $$

donde $f(x) = e^{2 \pi i x}$ y el estudio de la cohomology de una compleja variedad por comparación con la cohomology de los correspondientes complejos colector. Por desgracia, yo realmente no sé lo suficiente sobre el tema para ser capaz de decir mucho acerca de él.

Answer 3

Sharp límites en el carácter sumas (como sumas de Kloosterman) a menudo se sigue de la hipótesis de Riemann para la adecuada $L$-funciones de las variedades más finito campos, y un pedazo de la prueba de esto se basa en nonvanishing teoremas que en última instancia se remontan a la analítica de las ideas de la prueba del teorema de los números primos/del teorema de Dirichlet.

Answer 4

Último Teorema de Fermat. En definitiva, una muestra de que no hay ningún soutions a una ecuación de Fermat porque no hay holomorphic formas diferenciales en $\hat{\mathbb{C}}.$