Si $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ es monótonamente decreciente, y $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ es convergente, entonces $\underset {x\to\infty} \lim f(x)=0$ .

Question

Tengo la siguiente pregunta de verdadero/falso

Si $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ es monótonamente decreciente, y la integral $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ es convergente, entonces $\underset {x\to\infty} \lim f(x)=0$ .

Mi intuición es que es cierto, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo o si realmente hay un contraejemplo.

Gracias.

Answer 1

Es cierto. Supongamos que $f:[1,\infty)\to \mathbb R$ es monotónicamente decreciente y demostrar $$ \int_1^\infty f(x)~dx \text{ convergent }\Rightarrow \lim_{x\to \infty} f(x)= 0 $$ por contraposición.

Que sea $\lim f(x)\neq 0$ . Si $f(x)\to -\infty$ entonces $\int_1^\infty f(x)~dx=-\infty$ es evidente. En caso contrario, dejemos que sea $c:=\lim_{x\to\infty} f(x)\in\mathbb R\setminus\{0\}$ .

Primero, $c>0$ . Entonces utilizamos $f(x)\geq c$ y concluye $$ \int_1^\infty f(x)~dx=\lim_{R\to\infty}\int_1^Rf(x)~dx\geq \lim_{R\to\infty}\int_1^Rc~dx=\lim_{R\to\infty}(R-1)c=\infty. $$

Siguiente, $c<0$ . Desde $f(x)\to c$ obtenemos $X>0$ tal que $f(x)\leq \frac12c$ para todos $x\geq X$ y concluye \begin {align} \int_1 ^ \infty f(x)~dx&= \int_1 ^Xf(x)~dx+ \int_X ^ \infty f(x)~dx= \int_1 ^X f(x)~dx+ \lim_ {R \to\infty } \int_X ^Rf(x)~dx \\ & \geq \int_1 ^Xf(x)~dx+ \lim_ {R \to\infty } \int_1 ^R \frac12c ~dx \\ &= \int_1 ^Xf(x)~dx+ \lim_ {R \to\infty } \frac12 (R-X)c= \infty. \end {align}

Answer 2

A partir de la convergencia de la integral, para cada $\epsilon>0$ existe $x_0>a$ tal que $\left|\int_u^vf(x)\,\mathrm dx\right|<\epsilon$ para todos $v>u>x_0$ . Uso de la monotonicidad, $(v-u)f(u)\ge \int_u^vf(x)\,\mathrm dx\ge (v-u)f(v)$ . Dejar $u=v-1$ , concluyen que $f(v)\le \epsilon$ para $v>x_0+1$ . Además, transforma a $f(u)>\frac\epsilon{v-u}$ y concluye $f(u)\ge 0$ dejando $v\to+\infty$ .