Calcular $$\displaystyle\int_{-T}^T\sin(x-a)\cdot\sin(x-b)~e^{-k~(x-a)(x-b)}~dx\quad$$ No tengo idea de cómo proceder. Alguna sugerencia por favor? Aquí $T>0$.
Respuesta
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Aquí es el camino hacia el final - que no es la respuesta. Voy a asumir que $a,b,k$ - son números reales. Primero, se observa que la $$\sin(x-a)\sin(x-b) = \frac{1}{2}(\cos(b-a)-\cos(2x-(a+b)))$$
Ahora, split integral en 3 partes:$$I_0 = \frac{\cos(a-b)}{2}\int_{-T}^{T}e^{-k((x-\frac{a+b}{2})^2 - \frac{a^2+b^2}{4})}dx$$ Otras dos integrales vienen de presentación de $\cos$ como una suma de dos exponentes: $$I_1 = -\frac{1}{4}\int_{-T}^{T}e^{-k((x-\frac{a+b}{2})^2 - \frac{a^2+b^2}{4}) + 2i(x - \frac{a+b}{2})}dx$$ $$I_2 = -\frac{1}{4}\int_{-T}^{T}e^{-k((x-\frac{a+b}{2})^2 - \frac{a^2+b^2}{4}) - 2i(x - \frac{a+b}{2})}dx$$
Por las variables de sustitución, $I_0$ puede ser presentado como una combinación de funciones de error - $$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt$$ if $k >0$ or Fresnel integrals if $k < 0$: $$C(x) = \int_{0}^{x}\cos(t^2)dt; S(x) = \int_{0}^{x}\sin(t^2)dt$$
En $I_1$ $I_2$ sustituir las variables $u = x-\frac{a+b}{2}$ $$-ku^2 \pm 2iu = -(u\sqrt{k}\mp\frac{i}{\sqrt{k}})^2 - \frac{1}{k}$$ Deje $y = u\sqrt{k}\mp\frac{i}{\sqrt{k}}$
Ahora vamos a buscar que en la línea de la integración desplazado al plano complejo.
Todas las funciones son analíticas sin polos en nuestro contorno y se puede pasar de la línea del contorno en forma de presentar la integral como una suma de los imaginarios funciones de error.
La combinación en conjunto nos da la combinación lineal de funciones de error (o de Fresnel funciones, depende de k) en el imaginario y funciones de error.
Al finalizar se nos prestarán especial atención a seleccionar a la derecha de los signos de los imaginarios partes para hacerles compensar como la integral inicial es real.
No me atrevería a completar todos los anteriores ya que requieren gran cantidad de tediosos cálculos.
Espero que sea de ayuda.
