¿Divergencia como transposición del gradiente?

Question

En sus conferencias en línea sobre ciencia computacional, el profesor Gilbert Strang interpreta a menudo la divergencia como la "transposición" del gradiente, por ejemplo aquí (a las 32:30), pero no explica el motivo.

¿Cómo es que la divergencia puede interpretarse como la transposición del gradiente?

Answer 1

He aquí un punto de vista bastante menos sofisticado que algunas de las otras respuestas. Recordemos que el producto punto de vectores puede obtenerse transponiendo el primer vector. Es decir, $$ \textbf{v}^T \textbf{w} \;=\; \begin{bmatrix}v_x & v_y & v_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}w_x \\ \\ w_y \\ \\w_z\end{bmatrix} \;=\; v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z \;=\; \textbf{v}\cdot \textbf{w}. $$ (Aquí pensamos que los vectores columna son los vectores "estándar").

Del mismo modo, se puede considerar que la divergencia implica la transposición de la $\nabla$ operador. Recordemos en primer lugar que, si $g$ es una función de valor real, entonces el gradiente de $g$ viene dada por la fórmula $$ \nabla g \;=\; \begin{bmatrix}\partial_x \\ \\ \partial_y \\ \\ \partial_z \end{bmatrix}g \;=\; \begin{bmatrix}\partial_xg \\ \\ \partial_yg \\ \\ \partial_zg \end{bmatrix} $$ Del mismo modo, si $F=(F_x,F_y,F_z)$ es un campo vectorial, entonces la divergencia de $F$ viene dada por la fórmula $$ \nabla^T F \;=\; \begin{bmatrix}\partial_x & \partial_y & \partial_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_x \\ \\ F_y \\ \\ F_z\end{bmatrix} \;=\; \partial_xF_x + \partial_yF_y + \partial_zF_z. $$ Así, la divergencia corresponde a la transposición $\nabla^T$ de la $\nabla$ operador.

Esta notación de transposición suele ser ventajosa. Por ejemplo, la fórmula $$ \nabla^T (gF) \;=\; (\nabla^T g)F \,+\, g(\nabla^T F) $$ (donde $\nabla^T g$ es la transposición del gradiente de $g$ ) parece mucho más obvio que $$ \text{div} (gF) \;=\; (\text{grad } g)\cdot F \,+\, g\;\text{div } F. $$ De hecho, esta es la fórmula que conduce a la integración por partes utilizada en el vídeo: $$ \int\!\!\int g (\nabla^T F)\,dx\,dy \;=\; -\int\!\!\int (\nabla g)^T F \,dx\,dy. $$

Answer 2

Un "par dual" en análisis funcional consiste en un espacio vectorial topológico E y su espacio dual $E'$ de funciones lineales continuas, o algún subespacio de éste.

Es decir, para espacios vectoriales reales, para cada elemento $e \in E$ y $e' \in E'$ podemos escribir $$ \langle e, e' \rangle \in \mathbb{R} $$ Ejemplo: Sea $E$ sea un espacio de Hilbert, entonces $E = E'$ y el emparejamiento dual viene dado por el producto escalar.

En el caso que nos ocupa tenemos dos espacios de funciones y el emparejamiento dual se define como $$ \int_{\Omega} u(x, y) v(x, y) d x d y $$ Cuando tenga algún operador $$ T: E \to E $$ a menudo es posible definir el "operador transpuesto" T' como el operador $$ T': E' \to E' $$ por el requisito de que $$ \langle T e, e' \rangle = \langle e, T' e' \rangle $$ para todo e, e'. En el contexto de los espacios de Hilbert, es más común hablar de "operadores adjuntos". El nombre "transpuesto" se debe a que, para los operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita, el transpuesto viene dado por la matriz transpuesta (conjugada, para el campo terreno complejo) de la matriz que representa a $T$ con respecto a una base fija.

En el caso que nos ocupa, cuando escribimos $$ \int_{\Omega} (- div \; grad u(x, y)) v(x, y) d x d y $$ verá que esto es lo mismo que $$ \int_{\Omega} (grad \; u(x, y)) \cdot (grad \; v(x, y)) d x d y $$ por integración por partes, si los términos de frontera son cero. La dirección $\cdot$ denota el producto escalar canónico de vectores en $\mathbb{R}^n$ . Por lo tanto, si los términos límite son cero, tenemos

$$ \langle - div \; e, e' \rangle = \langle e, grad \; e' \rangle $$ donde -en sentido estricto- el emparejamiento dual de cada lado es diferente, porque el primero es un emparejamiento dual de funciones con valores en $\mathbb{R}$ mientras que la segunda es para funciones con valores en $\mathbb{R}^2$ . Pero obviando este detalle técnico, el operador grad es en este sentido el operador transpuesto del operador div.

Answer 3

He aquí un análogo discreto de la situación en la que uno realmente puede literalmente tomar la transposición de una matriz que es análoga al gradiente y obtener una matriz que es análoga a la divergencia.

Sea $G$ sea un grafo finito con un conjunto de vértices $V$ y conjunto de bordes $E$ y que $\mathbb{R}^V, \mathbb{R}^E$ sean los espacios vectoriales de las funciones $V \to \mathbb{R}$ resp. $E \to \mathbb{R}$ . (En realidad $\mathbb{R}^E$ es algo más complicado que esto: queremos poder referirnos a una arista desde $u$ a $v$ ya que ambos $uv$ y como $vu$ con la condición de que $f(uv) = -f(vu)$ .) Dada una función $f \in \mathbb{R}^V$ que consideramos un análogo discreto de una función escalar en $G$ podemos definir

$$\text{grad}(f)(uv) = f(v) - f(u)$$

y esto da una función $\text{grad}(f) \in \mathbb{R}^E$ que consideramos como un análogo discreto del gradiente, pero que se conoce más típicamente como el (orientado) matriz de incidencia de $G$ . Obsérvese aquí el "teorema fundamental de las integrales lineales discretas": si $v_1 \to v_2 \to ... \to v_n$ es un camino, entonces

$$\sum_{i=1}^{n-1} \text{grad}(f)(v_{i+1} v_i) = f(v_n) - f(v_1)$$

como se esperaba. Ahora, ambos espacios $\mathbb{R}^V, \mathbb{R}^E$ vienen equipados con productos internos dada por

$$\langle a, b \rangle_V = \sum_{v \in V} a(v) b(v)$$

et

$$\langle a, b \rangle_E = \sum_{e \in E} a(e) b(e)$$

respectivamente. En general, si $A, B$ son un par de espacios producto interno y $T : A \to B$ es un operador lineal, entonces bajo buenas condiciones existe un operador lineal único $T^{\dagger} : B \to A$ tal que

$$\langle Ta, b \rangle_B = \langle a, T^{\dagger} b \rangle_A.$$

$T^{\dagger}$ es el adjunto de $T$ y ésta es la definición abstracta de la transposición de una matriz. Puedes comprobar que si eliges bases ortonormales de $A, B$ y escribe $T$ en términos de esas bases, entonces $T^{\dagger}$ es precisamente la transposición de $T$ en el sentido habitual. Así, el operador $\text{grad} : \mathbb{R}^V \to \mathbb{R}^E$ tiene un adjunto. Si tomamos simplemente la transpuesta de la matriz que representa a $\text{grad}$ (con respecto a las bases ortonormales dadas por las funciones que son iguales a $1$ en un vértice o arista concretos y $0$ en caso contrario) obtenemos que para $g \in \mathbb{R}^E$ ,

$$\text{div}(g)(u) = \sum_{uv \in E} g(uv).$$

Si pensamos en $g$ como un flujo en el gráfico $G$ es precisamente una medida de cuánto entra o sale de un vértice concreto, por lo que es un análogo discreto apropiado de la divergencia y, de hecho, se cumple un análogo discreto del teorema de la divergencia.

En el cálculo multivariable ocurre algo parecido a lo anterior, salvo que los espacios y los productos internos son más complicados.

Answer 4

La interpretación de la divergencia como transposición de gradiente, puede ser desafiante especialmente para el caso de un campo tensorial de segundo orden - donde podemos definirlo de dos maneras... - cita de wiki :