¿Cuál es el significado de exponenciales a los poderes reales para que la serie no existen?

Question

Si tenemos $a\in\mathbb{R}$$b\in\mathbb{R}$, lo que queremos decir cuando escribimos $b^a$? Entiendo que si $a\in\mathbb{Z}$, estamos expresando $$ b^a = \prod_0^a b $$ Sin embargo, si $a$ es de la forma $1/n,\ n\in\mathbb{N}$ ¿qué entendemos por $b^{1/n}$? Queremos expresar esto $\sqrt[n]{b}$ y, a continuación, utilizar el límite de una suma de una serie (si una serie puede ser incluso garantiza que existe)? Además, ¿qué pasa si $a\in\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$? Sé que a menudo un verdadero puede ser expresada como una serie de racionales, pero podemos garantizar esta serie de racionales existe? Si es así, podríamos simplemente se podría escribir: $$ b^a = b^{\sum_{i=0}^\infty A_i}= \prod_{i=0}^\infty b^{A_i} \quad A_i\in\mathbb{Q}$$ Por supuesto, esto no resuelve el problema de $a = 1/n,\ n\in\mathbb{N}$. Esto parece elemental, pero estoy atascado. Gracias por su ayuda!

Por cierto, estoy de física de pregrado, así que estoy bastante matemáticamente poder, pero tienen poco de matemáticas puras de fondo (aún). Este es curiosidad, no HW.

Answer 1

Esta es una pregunta que se responde en la mayoría de los análisis de los cursos. Primero se definen $x^{n}$ para los números naturales $n,$, a continuación, extender a todos los números enteros por la condición natural $x^{m+n} = x^m x^n$ para los números enteros $m, n.$ Lo que tienes que hacer es demostrar que $n^{th}$ raíces existen. ¿Cómo hacemos esto? Bien, suponiendo que saber un poco de análisis...

Supongamos que $a \in \mathbb{R}^{+}$ (positiva reales) y considerar el conjunto $S_{a} = \{x \in \mathbb{R}\mid x \ge 0,\, x^{n} \le a\}.$ De la menor cota superior de la propiedad, hay un supremum de $S_{a},$ dice $s.$ Es un ejercicio para demostrar que $s^{n} = a.$ esta es la idea: el uso de la tricotomía de reales y demostrar que si $s>a,$ no es la menor cota superior de. Del mismo modo, muestran que si $s < a,$, entonces no es un límite superior. Después de esto, usted puede definir $x^{r}$ $r\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ como la menor cota superior de a $\{x^q \mid q \in \mathbb{Q}, q < r\},$ o el límite de una secuencia, pero son equivalentes.

Así que, de hecho, su pregunta estaba lejos de "elemental" en el sentido de que la mayoría de los estudiantes nunca incluso llegar a este punto - es una cosa maravillosa de ser curioso!

Answer 2

Si $b > 0$$a \in {\mathbf R}$, escoja una secuencia de números racionales $a_1, a_2, a_3, \dots$ tal que $a_n \rightarrow a$$n \rightarrow \infty$. A continuación, definimos $b^a$$\lim_{n \rightarrow \infty} b^{a_n}$. Resulta que este límite es el mismo no importa lo que la secuencia de racionales $a_n$ elegir que converge a $a$. De esta manera, los poderes racionales de $b$ de extender a los poderes reales "por la continuidad", es decir, mediante el uso de una definición que esperamos que debería funcionar si la función de $f(x) = b^x$ sentido como una función continua.