Deducción Natural a prueba de $(\alpha\to\beta)\to(\beta\to\gamma)\to(\alpha\to\gamma)$

Question

Mi maestro nos ha asignado este ejercicio como parte de nuestra tarea:

Dar una deducción natural a prueba de $(\alpha\to\beta)\to(\beta\to\gamma)\to(\alpha\to\gamma)$

Aquí es un ejemplo de deducción natural que él nos dio:

$\vdash \alpha\to\beta\to\alpha$.

Esta es una tautología, pero es más fácil demostrar que verificar:
$\alpha,\beta\vdash\alpha$, la hipótesis de
$\alpha\vdash\beta\to\alpha$, la deducción del teorema de
$\vdash\alpha\to\beta\to\alpha$, la deducción del teorema de

Aquí va mi intento:

Hipótesis: $(\alpha\to\beta),(\beta\to\gamma) \vdash (\alpha\to\gamma)$
Deducción de thm: $(\alpha\to\beta) \vdash(\beta\to\gamma)\to(\alpha\to\gamma)$
Deducción de thm: $\vdash(\alpha\to\beta)\to(\beta\to\gamma)\to(\alpha\to\gamma)$

Es esto suficiente? Me siento como que tengo que tomar, aparte de las funciones dentro de los paréntesis y el control de dichos así, pero no sé cómo.

Answer 1

$$\begin{align} (1) & \alpha \rightarrow \beta && [\text{HYP}] \\ (2) & \beta \rightarrow \gamma && [\text{HYP}] \\ (3) & \alpha && [\text{HYP}] \\ (4) & \beta && [\text{MP}(1,3)] \\ (5) & \gamma && [\text{MP}(2,4)] \\ (6) & \alpha \rightarrow \gamma && [\rightarrow\text{-intro}(3,5)] \\ (7) & (\beta \rightarrow \gamma) \rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma) && [\rightarrow\text{-intro}(2,6)] \\ (8) & (\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow ((\beta \rightarrow \gamma) \rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma)) && [\rightarrow\text{-intro}(1,7)] \\ \end{align}$$

Answer 2

A menos que usted ya tiene la hipótesis de que, usted necesita para llegar a la hipótesis de que la primera.

También, (α→β)→(β→γ)→(α→γ) es ambiguo. Usted seguramente desea probar ((α→β)→((β→γ)→(α→γ))). Además, usted no es realmente el uso de la deducción (meta) teorema, se utiliza la regla de inferencia que implica como válido. Voy a llamar a esta regla "introducción condicional".

No sé su formato exactamente o qué tienes exactamente, pero una prueba podría ser algo como esto:

Hipótesis (la regla de modus ponens/separación): (α→β), α $\vdash$ β

El debilitamiento de: (α→β), α (β→γ) $\vdash$ β

Conmutación en el lado izquierdo: (α→β), (β→γ), α $\vdash$ β

Identidad: (α→β), (β→γ), α $\vdash$ β, (β→γ)

Desprendimiento: (α→β), (β→γ), α $\vdash$ γ

Introducción condicional: (α→β), (β→γ) $\vdash$ (α→γ)

Answer 3

Si, como Doug sugerido, usted está realmente obligado a probar

$A\implies B \implies (B\implies C \implies (A\implies C))$,

usted podría comenzar con 3 sucesivas locales, siendo las dos primeras:

1. Supongamos $A\implies B$

2. Supongamos $B\implies C$

3. Supongamos que ???

(No me gustan las letras griegas!)