¿Cuántas cartas de 13 manos tienen un as?

Question

Sé que la respuesta es ${4 \choose 1}{48 \choose 12}/{52 \choose 13}$ . Pero me cuesta racionalizarlo. ¿Por qué no es ${13 \choose 1}{4 \choose 1}{48 \choose 12}/{52 \choose 13}$ como en elegir cuál de los $13$ puntos en los que entra el as y luego elegir cuál de los $4$ ases y luego elegir el resto de las doce manos? Sé que está mal, pero ¿por qué está mal pensar así? Lo siento, soy muy malo en combinatoria. Gracias.

Answer 1

Recuerde, cuando se trata de manos, por ejemplo una mano de cinco cartas $A2346$ es lo mismo que $6A234$ . En otras palabras, todos los $5!$ son equivalentes. Por lo tanto, no importa en qué "punto" va el As, por ejemplo. Sólo nos importa que el As esté en nuestra mano.

Por lo tanto, para una mano de 13 cartas, tenemos que elegir un as, y hay $\binom{4}{1}$ formas de hacerlo. A continuación, elegimos el resto de las cartas. Como no pueden ser ases, entonces tenemos $52-4 = 48$ tarjetas para elegir. Así que hay $\binom{48}{12}$ formas de elegir el resto. Por último, hay $\binom{52}{13}$ formas de hacer una mano de 13 cartas. Por lo tanto, la probabilidad de hacer una mano con un solo as es $$\frac{\binom{4}{1}\binom{48}{12}}{\binom{52}{13}} =\frac{9139}{20825} = 0.438847539$$

Nota $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

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Adenda:
No estoy muy familiarizado con los juegos que utilizan manos de 13 cartas, como el Bridge (creo). Pero sí estoy familiarizado con las manos de póker de 5 cartas.

Digamos que quiero calcular la probabilidad de obtener un pleno. Esto sería algo así como $AAAKK$ . Este es un caso en el que sí se necesita $\binom{13}{1}$ .

Primero elijo el rango que quiero que sea el triple. Hay 13 rangos y por lo tanto hay $\binom{13}{1}$ formas de elegir el rango para el triple. Nótese que no estoy contando donde el triple va, pero qué rango será constituir el triple. Digamos que elijo el As. Hay cuatro ases (diamantes, picas, tréboles, corazones) pero sólo necesito 3. Hay $\binom{4}{3}$ formas de elegir los tres palos de los ases. A continuación, elijo el otro rango y qué dos palos harán el doble. Hay $\binom{12}{1}$ formas de elegir el otro rango, y $\binom{4}{2}$ formas de elegir los trajes. Por último, hay $\binom{52}{5}$ formas de hacer una mano. Por lo tanto, la probabilidad de hacer un full es $$\frac{\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{1}\binom{4}{2}}{\binom{52}{5}} = \frac{6}{4165} = 0.0014405762.$$

Answer 2

La respuesta que dices conocer es la fracción, no el número.

Para determinar el número hay que tener en cuenta la diferencia de combinaciones y permutaciones. En el segundo caso, el orden es importante, en el primero no.

Sólo en el caso de que el orden sea importante, habría que multiplicar por 13.

Las fórmulas para el número de combinaciones de juegos de cartas, parece que las entiendes perfectamente.

Answer 3

Su encabezamiento habla de número de manos, pero si está interesado en el probabilidad, usted puede usar permutaciones,(aunque implica una complejidad innecesaria para este problema), pero lo que hiciste fue usar permutaciones para una carta y combinaciones para el resto.

Si utilizas las permutaciones en su totalidad, Pr $=\dfrac{52\cdot^{48}P_{12}}{^{52}P_{13}}$ dará el mismo resultado.

O incluso el extraño enfoque de permitir la elección de las ranuras sólo al primer ocupante, pero tanto en el numerador como en el denominador , lo haría, Pr $=\frac{52\cdot\binom{48}{12}}{13\cdot\binom{52}{13}},$

pero no hace falta decir que lo más sencillo es lo mejor, que en este caso es utilizar simplemente combinaciones. ¡!

Añadido

Si, según el encabezamiento, le interesa el número de manos, una mano no tiene en cuenta el orden en que se reparten las cartas.

Answer 4

Se puede razonar de la siguiente manera: Una de las manos que le interesan está formada por un as y 12 no caras. El as se selecciona como $1$ en $4$ los que no lo son, como $12$ en $52 - 4$ . Así que hay $\binom{4}{1} \binom{52-4}{12}$ tales manos. En total, hay $\binom{52}{13}$ manos.

En general, para abordar situaciones tan complejas, vale la pena buscar una forma de describir lo que se intenta contar, a ser posible como una secuencia de decisiones independientes (elegir el as, elegir las otras cartas). Contar el número de secuencias es fácil. Y evita errores estúpidos. Sólo hay que tener cuidado de que sólo haya un descripción para un objeto concreto, o que cada objeto tenga, por ejemplo, 2 descripciones.

Consulta los apuntes de la conferencia del MIT de Lehman, Leighton y Meyer "Matemáticas para la informática" (muy a menudo hay nuevas ediciones, busque por ahí). Es relevante la parte III "Contar", en particular los ejemplos con manos de póker (sección 15.7 en la edición actual).