¿Cómo podemos pensar y/o escribir con rigor acerca de la integración por sustitución?

Question

Definir una función $I:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ como sigue.

$$I(a,b)=\int_a^b \sin t \cos t \,d t$$

A continuación, podemos encontrar una descripción explícita de $I$ usando integración por sustitución. Así que vamos a $u = \sin t$. A continuación,$d u = \cos t \,dt$. Por lo tanto:

$$I(a,b) = \int_a^b \sin t \cos t \,d t = \int_{t=a}^{t=b}udu = \left[\frac{1}{2}u^2\right]_{t=a}^{t=b} = \left[\frac{1}{2} \sin^2 t\right]_{t=a}^{t=b} = \frac{1}{2}\left(\sin^2b-\sin^2 a\right)$$

No estoy seguro de en nuestra respuesta final, aunque, hay demasiadas chunga cosas que están pasando. Estos incluyen tanto los problemas en general de integración por sustitución, y los temas que son más específicas para este problema.

Cuestiones Generales.

• Siempre he sido un poco incómodo con este "let $u=\sin t$" cosas, ya que nunca dijo nada de "vamos a $t$ denotar un fijo, pero arbitraria número real," por lo que el significado de $t$ es ambiguo. Esto no es fácil de arreglar, aunque; no queremos decir "vamos a $t$ denotar un fijo, pero arbitraria número real" debido a que momentos más tarde, vamos a cuantificar $t$ por la integración, por lo que claramente no estaba fija.

• Otro problema general es que yo no sé realmente lo que expresiones como $du = \cos t dt$ de media. En virtud de la semántica usual para las ecuaciones, se podría pensar en esto como ser cierto para algunos pares de $(u,t)$ y falsa para otros. De aquí, que la semántica no funciona, así que no es del todo claro para mí lo que se afirma.

Cuestiones Particulares.

• En este caso en particular, ya que la función $t \in [a,b] \mapsto \sin t \in \mathbb{R}$ no es inyectiva para una lo suficientemente grande la brecha entre el$a$$b$, ni siquiera estoy seguro de que nos permite realizar la integración por sustitución de aquí. (¿Estamos?)

• La notación $\int_{t=a}^{t=b}udu$ $\left[\frac{1}{2}u^2\right]_{t=a}^{t=b}$ sólo que parece un tipo de ambigüedad para mí. Esto realmente tiene sentido? Si es así, ¿cómo hace uno para formalizar los significados de estas expresiones?

Pregunta. Supongamos que queremos conceptualizar la integración por sustitución rigurosamente, y aplicar con rigor (utilizando inequívoca notation) para encontrar $I(a,b)$ explícitamente. ¿Cómo podemos hacer esto?

Por favor, no publicar las respuestas que hábilmente evitar el uso de la integración por sustitución. Quiero entender, no evitarlo.

Answer 1

Desde la perspectiva de un elemental cálculo del estudiante (por que me refiero a que, supuestamente, puede ser rigurosa más adelante, pero no está en clases introductorias), el $du$, $dx$ cosas es una tontería absoluta y nunca voy a entender por qué sigue siendo utilizado por muchos profesores. Es que realmente es una gran agujero en la mayoría de lo contrario riguroso cálculo de los cursos. Realmente extraño.

De todos modos, la verdadera historia se cuenta con la composición de funciones. Donde $f$ es una función integrable en $[a, b]$, voy a denotar $\int_a^b f$ la integral de $f$$[a, b]$, ya que realmente es algo determinado por la función en sí, no hay "variables" (lo que podría significar) en cualquier lugar.

Entonces tenemos:

$$\int^b_a(f\circ\phi)\phi'=\int^{\phi(b)}_{\phi(a)}f$$

No son apropiados los supuestos que deben hacerse acerca de $f$$\phi$, que se explica mejor en la Wikipedia.

Así, por ejemplo, digamos que queremos integrar

$$\int^2_1\frac {2x} {1+x^2}$$

Así, la definición de $f(x)=\frac 1 x$$\phi=1+x^2$, el integrando es, precisamente,$(f\circ\phi)\phi'$, por lo tanto, la integral es igual a

$$\int^{\phi(2)}_{\phi(1)}\frac 1 x=\int^{5}_{2}\frac 1 x$$

Nota: lo que puedo decir por experiencia personal que el pensamiento de este enfoque es mucho más lento que el de "multiplicar ambos lados por $dx$" enfoque que la mayoría de sus compañeros de clase se va a utilizar. Yo recomiendo practicar el pensamiento con la función de composición de un montón hasta que usted puede hacer rápidamente y con fluidez.

Answer 2

Esto me desconcertó demasiado como llegué por primera vez a lo largo de, Jack M dio una buena respuesta de lo que realmente está detrás de él. Y para la práctica de matemático, el "acercamiento simbólico" a través de variables, diferenciales y así sucesivamente es como una taquigrafía mental, que funciona por inteligente elegido notación. Tal vez tener en cuenta que la regla de la cadena se puede leer en dos direcciones, uno si puede ver a la vez las funciones de $\varphi$$f$, como quizá $\int_a^b x\cos(x^2+2) dx$ o en la otra dirección, donde se necesita de alguna forma de "calcular" su $\varphi$, como en $\int_a^b \cos(x^2+2) d x$ (aquí no se puede aplicar la regla de la cadena directamente por la lectura de acuerdo a la fórmula, usted necesita para reorganizar un poco).

Así que lo que "matemáticamente" estás haciendo aquí? Usted acaba de calcular su subsitution función de $\varphi$! Esto se podría hacer con todo este "mágico" diferencial cociente cosas, supongamos que tiene una integral de la forma $$ \int_a^b f(\varphi(x)) dx $$ que como Jack M señalado no tiene nada que ver con la variable $x$, pero es una función de funciones (a veces llamados funcionales), las variables son, en este sentido, sólo "las convenciones de anotación" para tener estos mental shorthands por la regla de la cadena. Bien, supongamos $\varphi$ es invertible, y deje $\psi := \varphi^{-1}$, luego $$ \int_a^b f(\varphi(x)) d x = \int_{\psi(un)}^{\psi(b)} \psi'(x) f(\varphi(\psi(x)) d x = \int_{\psi(un)}^{\psi(b)} \psi'(x) f(x) d x. $$ esto es sólo la regla de la cadena, usted puede fácilmente el estado de este en el idioma Jack M hace, y cómo me llamó la integración de las variables ($x$ o $t$ o lo que sea, no importa!)

Pero, ¿cómo calcular $\psi$? Sí, cómo calcular la inversa de a $\varphi(x)$, escribir $y = \varphi(x)$ y tratar de resolver por $y$, a continuación, cambiar el nombre, se verá que estos son exactamente los pasos que están "ocultos" en el "simbólico-diferencial de aplicación" de la regla de la cadena. Para mi ejemplo, $$ t = x^2 + 2 \mbox{ que ha inverso } x = \sqrt{t - 2} $$ (esto sólo funciona por ejemplo si $0 < a < b$ cuando la función, de hecho es invertible!). Ahora calcular su derivada y el enchufe y se obtiene $$ \int_{\psi(un)}^{\psi(b)} \psi'(t)\cdot \cos(t) dt = \int_{\sqrt {- 2}}^{\sqrt{b-2}} \left( \frac{1}{2\sqrt{t-2}} \right) \cdot \cos(t) d t = \int_{\sqrt {- 2}}^{\sqrt{b-2}} \frac{\cos(x)}{2\sqrt{x 2}} d x. $$ Pero, ¿qué estás haciendo en caso de aplicar el método simbólico, poner a $t = x^2 + 2$, a continuación, calcular $dt / dx = 2x$ conseguir $dx = dt / 2x$, si el enchufe esta en usted todavía tiene $x$, por lo que resolver para $x$ conseguir $x = \sqrt{t - 2}$, ¿ves cómo no es sólo el cálculo de la función inversa, y conectar sus derivados, está contenida en estos pasos? Por supuesto, la precisión de los supuestos ocultos, para hacer esto más riguroso en primer lugar, su substition función de la inverstible y, a continuación, lo que está en juego aquí es la regla de la función inversa de la diferenciación $(\varphi^{-1})' = 1/(\varphi \circ \varphi^{-1})$ (¿ves cómo esta fórmula se oculta en los pasos de arriba?), que encaja muy bien con este "diferencial de la notación abreviada de" demasiado, haciendo de este "taquigrafía mental" de trabajo.

Answer 3

AÑADIÓ: Para que quede claro, (1) puedo ver por qué (tal vez descuidado) la notación puede ser confuso y es muy natural que a muchos podría resultar confuso al principio, y yo solía demasiado y (2) no obstante, creo que hay un valor en este tipo de abuso de notación. Pero sí exige explicación. Primero explicaré en la generalidad (que usted probablemente sabe, pero para otros, que pueden hacer las mismas preguntas) y, a continuación, llegar a sus preguntas específicas.

$dx, dt, dy$. Hay dos puntos cruciales acerca de este tipo de notación.

En primer lugar, este estilo de notación se refiere a la intuición de las variables y de infinitesimals.

Digamos que usted venir a través de algo como el siguiente argumento:

Considere el círculo unidad. Esto es definido por la $$x^2 + y^2 = 1$$ Por la diferenciación, podemos ver que en la siguiente relación se mantiene en el círculo unidad: $$2 x dx + 2 y dy = 0$$ por lo Tanto, el círculo tiene propiedad que bla, bla.

Nota cómo el argumento que utiliza $dx, dy$ liberalmente como si están bien definidas las cantidades reales. Cuando un matemático es la lectura de la parte media de ese argumento, que intuitivamente podría interpretar de la siguiente manera (vamos a echar a un lado sus posibles formal significados por un momento):

Si $(x,y)$ es un punto arbitrario en el círculo unidad y si $(x+dx, y+dy)$ es otro punto en el círculo muy cercano a $(x,y)$, luego los cuatro números de $x, y, dx, dy$ tienen la propiedad de que $2 x dx + 2 y dy$ está muy cerca de a $0$ (en comparación con $dx,dy$).

En realidad, podría ser la visualización de $(x,y)$ como cambia continuamente por la duración de un segundo, y tal vez dividir la duración de un segundo en millones de pasos (la duración de cada paso es de un milisegundo). Por ejemplo, él podía imaginar el valor de $(x,y)$ como cambiar de $(0,1)$ (el polo norte) a $(0, -1)$ (el polo sur), mientras que va abajo del lado derecho del círculo. Para cada paso, si $(x,y)$ es la posición del punto móvil en ese momento y si $(x+dx, y+dy)$ es la posición en el momento siguiente, (el paso siguiente), entonces los cuatro números de $x, y, dx, dy$ tienen la propiedad de que $2 x dx + 2 y dy$ está muy cerca de a $0$.

Como para su posible formal significados, dependiendo de su preferencia o el contexto, el matemático podría tomar, por ejemplo, su significado para ser una declaración acerca de formas diferenciales, o una declaración acerca de la parametrización de las curvas (que representa el círculo), o tal vez sólo un geométricas declaración acerca de las tangentes a la circunferencia.

Para la sustitución en su post, el inicio de la relación se $u = \sin t$. Se supone que para imaginar el valor de la pareja $(t, u)$ continuamente cambiando de $(a, \sin a)$ $(b, \sin b)$a lo largo del pecado de la curva, por ejemplo para la duración de un segundo. No importa si $b$ es menor que $a$ o no. No importa si $u$ pasa a tomar algún valor específico, digamos 0, más de una vez entre el momento inicial $t =a$y en el último momento $t = b$. No importa si el movimiento es a velocidad constante o no. Se podría incluso cambiar de dirección en algún momento, a continuación, cambiar de dirección de nuevo en otro momento. La única cosa que importa es que usted puede imaginar el movimiento que se inicia a partir de $(a, \sin a)$ y termina a las $(b, \sin b)$ y a lo largo de la curva. Ahora se dividen en millones de pasos. Para cada paso, si $(t,u)$ es la posición del punto móvil en ese momento y si $(t+dt, u+du)$ es la posición en el momento siguiente, luego de las cuatro cantidades $t,u,dt,du$ tienen la propiedad de que $du$ está muy cerca de a $\cos t dt$.

En segundo lugar, es una buena idea usar un argumento que utiliza $dx, dt, dy$ liberalmente como si están bien definidas las cosas, siempre y cuando el usuario (el argumento) y el lector fácilmente puede venir para arriba con una manera de convertir el argumento en una rigurosa argumentación libre de uso liberal. Esto podría hacerse mediante el uso de la noción de parametrizadas (diferenciable) de las curvas y/o de Riemann–Stieltjes integral en la mayoría de los casos. Para el caso de su pregunta, la conversión es mucho más simple, como se ha demostrado en alguna otra respuesta, o como señaló en su post. Por supuesto, también vale la pena señalar que uno puede llegar a conclusiones absurdas por el razonamiento acerca de infinitesimals en una forma no regulada, como se ha demostrado con la famosa "prueba" de $1 = \sqrt{2}$. De ahí el "mientras" la cláusula.

Para responder a su pregunta acerca de la notación $\int_{t=a}^{t=b} u du$. De nuevo, imaginar el valor de $(t,u)$ cambio de $t=a$ $t=b$a lo largo de la curva de duración de un segundo. Dividir la duración en millones de pasos.

Pretender que la expresión $$\int_{t=a}^{t=b} u du$$ sólo significa que el resultado que se obtiene cuando usted suma $u du$ durante el segundo. Piense en esto como una suma de millones de términos: un término para cada momento. Sí, esta expresión sólo tiene sentido cuando una sustitución específica como $u = \sin t$ se ha acordado de antemano. El significado formal de la expresión debería ser obvio a partir de la intuición.

La expresión $$[\frac12 u^2]_{t=a}^{t=b}$$ significa que el valor de $\frac12 u^2$ en el último momento menos que en el primer momento. Esta expresión sólo tiene sentido cuando una sustitución acordada.

También podemos pretender que la expresión $$\int_a^b \sin t \cos t dt$$ significa una suma de millones de términos: un término para cada momento. Para cada momento, $\sin t \cos t dt$ es añadido. $\sin t \cos t dt$ es (casi) igual a $u du$ en cada momento, y que es la intuición detrás de: $$\int_a^b \sin t \cos t dt = \int_{t=a}^{t=b} u du$$

En cada momento, $u\, du$ es (casi) igual al valor de $\frac12 u^2$ en ese momento, menos el valor de $\frac12 u^2$ en el momento siguiente. Este es usualmente expresado como $$d(\frac12 u^2) = u\, du$$ and you can take its formal meaning to be that $\frac12 u^2$ is an anti-derivative of $u\, du$ y así podemos escribir (por el significado formal, o por la intuición): $$\int_{t=a}^{t=b} u du = [\frac12 u^2]_{t=a}^{t=b}$$