¿Por qué los gráficos de residuos se construyen utilizando los residuos frente a los valores predichos?

Question

Me interesa saber por qué los gráficos de residuos se trazan con los residuos contra la variable predicha de y y no contra y?

Answer 1

El modelo de regresión lineal estándar (OLS) es:
$$ Y = \beta_0 + \beta_1X + \varepsilon \\ \text{where }\ \varepsilon \sim \mathcal N(0, \sigma^2) $$ Lo importante es reconocer que el término de error se distribuye normalmente con una varianza que no depende de $X$ . Desde $\hat Y = \beta_0 + \beta_1X$ los residuos 1 de nuestro modelo pueden utilizarse como estimaciones de los errores del proceso de generación de datos, y podemos inspeccionar el gráfico de los residuos frente a los valores ajustados para evaluar el supuesto de varianza constante (homocedasticidad). Para entenderlo mejor, puede ser útil leer mi respuesta aquí: ¿Qué significa tener "varianza constante" en un modelo de regresión lineal? Por otro lado, no está claro qué significa un gráfico de los residuos frente a los $Y$ valores ilustrarían. De hecho, por lo general, esperamos cierto grado de correlación entre los residuos y $Y$ . (Puede ser útil leer este excelente hilo sobre el CV: ¿Cuál es la correlación esperada entre el residuo y la variable dependiente? )

Además, el gráfico de los residuos frente a los valores ajustados puede utilizarse para ayudar a identificar una forma funcional mal especificada 2 . Una vez más, ya que esperamos que los residuos y $Y$ que estén correlacionados, el gráfico de los residuos frente a los $Y$ valores serán engañosos en esta cuestión.

Utilizando el código y los datos de mi respuesta enlazada anteriormente, considere estos cuatro gráficos:

Ninguno de los dos modelos está mal especificado, pero el modelo representado en los dos gráficos de la derecha tiene heteroscedasticidad. Los gráficos superiores le ayudan a identificar la clara heteroscedasticidad de la derecha, sin llevarle a preocuparse por una posible forma funcional mal especificada. Los gráficos de la parte inferior denotan incorrectamente una especificación errónea, y lo hacen con más fuerza de lo que nos informan sobre el estado del supuesto de varianza constante.

<sub>1. En realidad, aquí utilizamos los residuos estandarizados.
2. Esto se hace más difícil con el aumento del número de $X$ variables, sin embargo.</sub>