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Irreductible representaciones de Z

Me pregunto ¿cuáles son las representaciones irreducibles del grupo (Z,+).

Sabiendo que para Zn 1-representaciones tridimensionales son las raíces enésimas de la unidad, he considerado tomando el límite cuando n pero creo que me estoy terminando con la U(1) grupo en lugar de a Z y no tengo otra idea...

9voto

Mr Rowing Puntos 54

Usted está probablemente en busca de las complejas representaciones (es cierto?). En primer lugar quiero reclamar cualquier finito-dimensional simple rep es unidimensional. Deje G=g ser infinito cíclico, este se mantendrá en el lugar de Z. Si g actúa sobre algunos distinto de cero finito-dimensional complejo espacio vectorial V por una lineal mapa de ρ(g), entonces esto lineal mapa tiene un vector propio, que abarca una dimensión subrep. Si el proveedor de electricidad era irreductible, este subrep debe ser todos los de V, lo dimV=1.

Ahora tenga en cuenta que si λC (me refiero a los no-cero de los números complejos), a continuación, gλ induce un homomorphism ρλ:GGL1(C), es decir, una representación de G. Claramente cualquier unidimensional de la representación surge de esta manera. Además si λμ, a continuación, la representación conferida por ρλ ρμ son no isomorfos: no mucho conjugacy sucede en GL1 !

En conclusión, el simple representaciones son naturales bijection con C: este es el llamado grupo de personajes.

4voto

SL2 Puntos 3145

Si ρ:ZGL(n,C) es una representación compleja, entonces, por ρ es un homomorphism, es totalmente determinado por ρ(1) (desde ρ(n)=ρ(1)n). Así que si ρ ρ son no isomorfos representaciones de Z, ρ(1) ρ(1) determinar dos no conjugada matrices en GL(n,C). Puesto que dos matrices son conjugado C fib tienen la misma forma canónica de Jordan, tenemos que la n-dimensiones complejas representaciones de Z (hasta el isomorfismo) están en una correspondencia uno a uno con el n×n canónica de Jordan formas.

EDIT: no me di cuenta de que pidió irreductible representaciones de Z. En este caso, supongo que ver mt_ la respuesta.

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