Usted está probablemente en busca de las complejas representaciones (es cierto?). En primer lugar quiero reclamar cualquier finito-dimensional simple rep es unidimensional. Deje G=⟨g⟩ ser infinito cíclico, este se mantendrá en el lugar de Z. Si g actúa sobre algunos distinto de cero finito-dimensional complejo espacio vectorial V por una lineal mapa de ρ(g), entonces esto lineal mapa tiene un vector propio, que abarca una dimensión subrep. Si el proveedor de electricidad era irreductible, este subrep debe ser todos los de V, lo dimV=1.
Ahora tenga en cuenta que si λ∈C∗ (me refiero a los no-cero de los números complejos), a continuación, g↦λ induce un homomorphism ρλ:G→GL1(C), es decir, una representación de G. Claramente cualquier unidimensional de la representación surge de esta manera. Además si λ≠μ, a continuación, la representación conferida por ρλ ρμ son no isomorfos: no mucho conjugacy sucede en GL1 !
En conclusión, el simple representaciones son naturales bijection con C∗: este es el llamado grupo de personajes.