Irreductible representaciones de $\mathbb{Z}$

Question

Me pregunto ¿cuáles son las representaciones irreducibles del grupo ($\mathbb{Z}$,+).

Sabiendo que para $\mathbb{Z}_n$ 1-representaciones tridimensionales son las raíces enésimas de la unidad, he considerado tomando el límite cuando $n \to \infty$ pero creo que me estoy terminando con la U(1) grupo en lugar de a $\mathbb{Z}$ y no tengo otra idea...

Answer 1

Usted está probablemente en busca de las complejas representaciones (es cierto?). En primer lugar quiero reclamar cualquier finito-dimensional simple rep es unidimensional. Deje $G=\langle g\rangle$ ser infinito cíclico, este se mantendrá en el lugar de $\mathbb{Z}$. Si $g$ actúa sobre algunos distinto de cero finito-dimensional complejo espacio vectorial $V$ por una lineal mapa de $\rho(g)$, entonces esto lineal mapa tiene un vector propio, que abarca una dimensión subrep. Si el proveedor de electricidad era irreductible, este subrep debe ser todos los de $V$, lo $\dim V=1$.

Ahora tenga en cuenta que si $\lambda \in \mathbb{C}^*$ (me refiero a los no-cero de los números complejos), a continuación, $g \mapsto \lambda$ induce un homomorphism $\rho_\lambda: G \to \mathsf{GL}_1(\mathbb{C})$, es decir, una representación de $G$. Claramente cualquier unidimensional de la representación surge de esta manera. Además si $\lambda \neq \mu$, a continuación, la representación conferida por $\rho_\lambda$ $\rho_\mu$ son no isomorfos: no mucho conjugacy sucede en $\mathsf{GL}_1$ !

En conclusión, el simple representaciones son naturales bijection con $\mathbb{C}^*$: este es el llamado grupo de personajes.

Answer 2

Si $\rho\colon \mathbb Z\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ es una representación compleja, entonces, por $\rho$ es un homomorphism, es totalmente determinado por $\rho(1)$ (desde $\rho(n)=\rho(1)^n$). Así que si $\rho$ $\rho'$ son no isomorfos representaciones de $\mathbb Z$, $\rho(1)$ $\rho'(1)$ determinar dos no conjugada matrices en $\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$. Puesto que dos matrices son conjugado $\mathbb C$ fib tienen la misma forma canónica de Jordan, tenemos que la $n$-dimensiones complejas representaciones de $\mathbb Z$ (hasta el isomorfismo) están en una correspondencia uno a uno con el $n\times n$ canónica de Jordan formas.

EDIT: no me di cuenta de que pidió irreductible representaciones de $\mathbb Z$. En este caso, supongo que ver mt_ la respuesta.