Soluciones de viscosidad

Question

Estoy buscando las referencias o pruebas directas simples de la existencia y unicidad de la solución de viscosidad para dos problemas:

$1.$ Sea $\Omega$ sea un dominio acotado, $u=0$ en $\delta\Omega$ y $$|Du|-f(x,u)=0$$ donde $f\ge 0$ y $f(x,r)<f(x,s)$ para todos $x\in \Omega$ y $r<s.$

$2.$ $-D\cdot a(Du)=f$ donde $a$ es una función vectorial suave que satisface

condición de monotonicidad $(a(Du)-a(Dv))\cdot (Du-Dv)\ge 0.$ Podemos asumir lo que necesitemos para el dominio en $R^n,$ $u=0$ en la frontera.

Answer 1

Editar: la primera parte sólo funciona si $u_1$ y $u_2$ son diferenciables.

Para la primera pregunta, lo que realmente hay que demostrar es el resultado de la comparación, es decir, si $u_1$ y $u_2$ son las correspondientes sub y super soluciones de viscosidad que coinciden en la frontera, entonces $u_1\le u_2.$ Para ello, fije $x_0\in\Omega$ y tomar $\phi\in C^2(\Omega),$ tal que $u_2-\phi$ alcanza su mínimo local en $x_0.$ Desde entonces, $u_2$ es una supersolución, se deduce que $$|D\phi(x_0)|\le f(x,u_2(x_0)).$$

Por el teorema de interpolación, para cada valor de $p$ existe $C^2$ función $\phi_1,$ tal que $u_1-\phi$ alcanza su mínimo local en $x_0$ y $|D\phi_(x_0)|=p=|D\phi(x_0)|.$ Para tales $\phi$ y $\phi_1,$ recordando que $u_1$ es una sub solución, obtenemos $$f(x,u_1(x_0))\le |D\phi_1(x_0)|=|D\phi(x_0)|\le f(x,u_2(x_0)),$$ y el resultado se deduce de la condición de monotonicidad.

Para el problema 2, véase:

Ishii, H.; Lions, P.-L. Viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic partial differential equations. J. Differential Equations 83 (1990), nº 1, 26-78. (Revisor: Philippe Delanoë) 35Bxx (35J60)