La prueba de $\int_Ef\,dm=\int_Eg\,dm\implies f,\,g$ igual en casi todas partes.

Question

Considere el siguiente problema, en particular, la segunda implicación:

"Demostrar que el $f$ $g$ son iguales en casi todas partes si y sólo si $\int_Ef\,dm=\int_Eg\,dm$ por cada conjunto medible $E$."

Mi problema: he mirado en la solución que me han dado a la segunda implicación, pero no veo la forma en que realmente muestra lo que estoy tratando de probar, y me gustaría ayudar a estar convencido de ello.

Aquí es un esquema del procedimiento empleado en las soluciones.

1. Empezar por asumir que $f\neq g$ sobre un conjunto de medida positiva, decir $F\subset \mathbb R$. A continuación, $F=\{x:f(x)\neq g(x)\}$. Tan lejos como puedo ver, esto equivale a admitir que el $f$ es no igual a $g$ en casi todas partes.

2. A continuación, se considerar $F$$F=\{x:f(x)\gt g(x)\}\cup\{x:f(x)\lt g(x)\}$, y la etiqueta de cada una de la $F_1$ $F_2$ respectivamente. Dicho de otro modo, ya que hemos asumido $F$ a tiene medida positiva, que cualquiera de las $F_1$ o $F_2$ tiene medida positiva. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar $F_1$ a tiene medida positiva.

3. Esto significa que $\forall x\in F_1,\,f(x)-g(x)\gt0$. Nos movemos entonces para calcular los $\int_{F_1}(f-g)dm$. Para determinar esta integral, utilizamos el hecho de que para un subconjunto medible $E\subset\mathbb R$ de medida positiva y $f\in\mathcal L(\mathbb R^n,m),$ donde $f$ es estrictamente positiva en $E$,$\int_Ef\,dm>0$. Aplicamos esta aquí para ver que $\int_{F_1}(f-g)dm>0$, y a continuación, utilizando las propiedades de la integral de Lebesgue, son capaces de sacar ese $\int_{F_1}f\,dm\neq\int_{F_1}g\,dm$.

Ahora entiendo todas las facetas poco utilizado a lo largo de la prueba, pero yo no veo cómo se muestra la segunda implicación del problema, es decir, que si $\int_Ef\,dm=\int_Eg\,dm$ por cada conjunto medible $E$ $f$ $g$ son iguales en casi todas partes, es cierto? Cómo es este razonamiento suficiente para deducir esto? Hay detalles finales que he perdido que podría atar todo esto junto?

Answer 1

Ahora entiendo todas las facetas poco utilizado a lo largo de la prueba, pero yo no veo cómo se muestra la segunda implicación del problema, es decir, que si ∫Efdm=∫Egdm para cada conjunto medible E, entonces f y g son iguales en casi todas partes, es cierto?

La declaración, usted puede probar es sólo la contraposición de la declaración que originalmente se quería demostrar.

Ahora creo que la prueba de que usted está mencionando es bastante complicado y no realmente ponen de relieve el fenómeno principal aquí, que es la integral de Lebesgue estrictamente una función positiva en un apreciable conjunto de estrictamente positivo de la medida tiene que ser positiva. (Que se menciona, pero enterrado bajo un montón de detalles.)

Yo prefiero imitar la prueba de esta última propiedad, que incluso produce un menor prueba!

Set $P_n = \{ x \mid f(x) \ge g(x) + 1/n \}$ por entero positivo $n$. Entonces, al mismo tiempo, tenemos que

$$\int_{P_n} (f -g) = 0 \mbox{ and }\int_{P_n} (f - g)\ge \lambda(P_n)/n $$

que las fuerzas de $\lambda(P_n)$$0$. Por lo tanto, se puede presentar el conjunto donde $f > g$ como una contables de la unión de conjuntos medibles de medida $0$ y su medida tiene que ser$0$. Por un argumento similar al conjunto donde $f < g$ también ha de medida $0$. Por lo tanto, $f = g$ en casi todas partes.

Answer 2

Considerar que para que una declaración de $a\Rightarrow b$ la contraposición $\neg b\Rightarrow \neg a$ es equivalente.

En su caso $$ \int_E f~dm=\int_Eg~dm\Rightarrow f=g~\text{a.e.} $$ es su declaración y la prueba demuestra que el equivalente contrapostion $$ \text{no} (f=g~\text{a.e.}) \Rightarrow \int_E f~dm\neq \int_Eg~dm $$ sostiene.

Answer 3

La prueba de realidad demuestra que $f$, $g$ son no una.e. la igualdad implica que no existe medibles $E$ s.t. $\int_E f\,dm\neq\int_E g\,dm$.

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Entonces usted tiene que recordar algunos detalles que se pueden resumir como "una vez que todos la entrada es medible, todo es medible". A saber:

• En (1), el supuesto "$f(x)\neq g(x)$ sobre un conjunto de medida positiva", es la negación de "$f$ $g$ son iguales en casi todas partes".
• En (2), $F_1$ $F_2$ son medibles, de manera que puede asumir cosas sobre ellos, no hay nada que falte).
• En (3), volvemos a usar ese $F_1$ es medible.

Éstas podrían ser las pequeñas piezas que faltaban.

Answer 4

La prueba demuestra que si no es cierto que $f=g,$ $m$-casi en todas partes, entonces el particular, es un conjunto de $E$ tal que $\int_E f\,dm \ne \int_E g\, dm,$ es decir, bien $E=F_1$ o $E=F_2.$

I. e. \begin{align} \text{If } & \text{not }\Big( f=g\quad m\text{-almost everywhere} \Big) \\[5pt] \text{then } & \Big( \text{there exists a set } E \text{ such that } m(E)>0 \text{ and } \int_E f\,dm\ne \int_E g\,dm \Big). \end{align}

El contrapositivo de esto es: \begin{align} \text{If } & \text{not } \Big( \text{there exists a set } E \text{ such that } m(E)>0 \text{ and } \int_E f\,dm\ne \int_E g\,dm \Big) \\[5pt] \text{then } & \Big( f= g \quad m\text{-almost everywhere} \Big). \end{align}

Ahora observe que los siguientes son equivalentes: \begin{align} & \text{Not }\Big( \text{there exists a set } E \text{ such that } m(E)>0 \text{ and } \int_E f\,dm\ne\int_E g\,dm\Big). \\[5pt] & \text{For every set } E \text{ for which } m(E)>0, \text{ we have } \int_E f\,dm = \int_E g\, dm. \end{align} Así tenemos: \begin{align} & \text{If for every set } E \text{ for which } m(E)>0, \text{ we have } \int_E f\,dm = \int_E g\, dm, \\[5pt] & \text{then } f=g\quad m\text{-almost everywhere}. \end{align}