Esquema separado estable bajo la extensión de la base.

Question

Dado un morfismo de esquema separado $X \to Y$ y un morfismo $Z \to Y$ Hartshorne demuestra que la extensión $X \times_YZ \to Z$ también está separado, siempre y cuando los esquemas involucrados sean noetherianos. El criterio valorativo que utiliza para probarlo depende de esta suposición.

¿Es cierto que para el general $X, Y, Z$ ?

$X \to Y$ separado significa que el mapa diagonal $X \to X \times_YX $ es una inmersión cerrada. Tengo que usar esto de alguna manera para probar que $$ \Delta :X \times_YZ \to (X \times_YZ ) \times_Z (X \times_YZ ) $$ es una inmersión cerrada. ¿Puede ese producto ser simplificado de alguna manera? ¿Hay alguna forma obvia de ver esto que me estoy perdiendo?

Answer 1

Como se sugiere en los comentarios, la prueba es puramente formal y sólo utiliza hechos simples sobre las inmersiones cerradas y los tirones.

Supongamos que $X \to Y$ está separado, es decir. $X \to X \times_Y X$ es una inmersión cerrada. Considere un cuadrado de retroceso: $$ \require {AMScd} \begin {CD} X' @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y' @>>> Y \end {CD}$$ El lemma de retroceso dice que el rectángulo exterior del siguiente diagrama es un diagrama de retroceso, $$ \begin {CD} X' \times_ {Y'} X' @>>> X' @>>> X \\ @VVV @VVV @VVV \\ X' @>>> Y' @>>> Y \end {CD}$$ así que el rectángulo exterior de abajo es también un diagrama de retroceso, $$ \begin {CD} X' \times_ {Y'} X' @>>> X \times_Y X @>>> X \\ @VVV @VVV @VVV \\ X' @>>> X @>>> Y \end {CD}$$ pero la mitad derecha es un cuadrado de retroceso, así que la mitad izquierda es en sí misma un cuadrado de retroceso. Así, en el siguiente diagrama, $$ \begin {CD} X' @>>> X \\ @VVV @VVV \\ X' \times_ {Y'} X' @>>> X \times_Y X \\ @VVV @VVV \\ X' @>>> X \end {CD}$$ el rectángulo exterior y la mitad inferior son diagramas de retroceso, así que la mitad superior es un cuadrado de retroceso. De ahí que $X' \to X' \times_ {Y'} X'$ es de hecho una inmersión cerrada.

Una prueba similar (pero más difícil) muestra que la clase de morfismos separados está cerrada en la composición.