Al $|f|$ $\arg(f)$ analítica?

Question

Deje $f:ℂ→ℂ$ ser una analítica de la función. Definir $|f|$ $\arg(f)$ ser el módulo y el argumento de $f$. Generalmente, $|f|$ $\arg(f)$ no analítica.

Mi pregunta es acerca de los casos en que esto suceda: $|f|$ $\arg(f)$ son analíticas.

Answer 1

Los valores de un no constante de la analítica de la función definida sobre algún dominio de $\Omega\subset{\mathbb C}$ siempre llenar otro bidimensional $\Omega'\subset{\mathbb C}$. Dada una analítica $f:\ \Omega\to{\mathbb C}$ las dos funciones de $|f|$ $\arg(f)$ son de valor real, resp. $S^1$valores; por tanto, no pueden ser analítico.

Hay, sin embargo, una forma de introducir estas dos funciones en la analítica reino: Suponga que el $\Omega$ es simplemente conectado y que $f(z)\ne0$ todos los $z\in\Omega$. Entonces no es una analítica de la función $z\mapsto g(z)$ tal que $$f(z)=e^{g(z)}\quad (z\in\Omega)\ .$$ Esta función $g$ puede ser considerado como el logaritmo de la $f$. Ir a través de los detalles que se vea que en realidad $$g(z)=\log\bigl|f(z)\bigr| + i \arg\bigl(f(z)\bigr)\quad (z\in\Omega)$$ (tenga en cuenta que $g$ es determinado únicamente hasta un aditivo múltiples de $2\pi i$). Así que se puede decir que el $\arg\bigl(f(z)\bigr)$ es la parte imaginaria de $\log\bigl(f(z)\bigr)$.