Funtores derivados y funtores inducidos

Question

Estoy tratando de entender la definición de funtores derivados en el contexto de las categorías derivadas, principalmente utilizando el libro de Huybrechts Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica pero también he consultado otras fuentes. Tengo algo de experiencia con los funtores Ext y Tor, así que esto no es del todo nuevo para mí.

Dejemos que $F:\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ sea un functor aditivo exacto de izquierda entre categorías abelianas, donde $\mathcal{A}$ tiene suficientes injectivos. Esto nos permite definir el functor derivado $RF:D^+(\mathcal{A}) \to D^+(\mathcal{B})$ , donde $D^+(\mathcal{A})$ es la categoría derivada acotada-baja. Entonces para $n \ge 0$ , Huybrechts define $$ R^n F:D^+(\mathcal{A}) \to \mathcal{B} \qquad R^nF(X^\bullet):=H^n(RF(X^\bullet)) $$ donde $X^\bullet$ es un complejo de cadenas sobre $\mathcal{A}$ y $H^n$ es el functor de homología. Hasta aquí todo bien. Entonces, Huybrechts dice: "Los funtores aditivos inducidos $R^nF:\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ son los funtores derivados superiores de $F$ ."

¿Cómo obtenemos un functor inducido $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ?

Sé que la respuesta correcta "debería" ser que para un objeto $X$ de $\mathcal{A}$ elegimos una resolución inyectiva de $X$ , cortar $X$ , véanlo como un complejo de cadena acotado por debajo (objeto de $D^+(\mathcal{A})$ ), entonces aplique $R^n F$ como se define en $D^+(\mathcal{A})$ . De la discusión que sigue a la definición se desprende que esto es también lo que Huybrechts tiene en mente.

Sin embargo, también sé por experiencia que demostrar que tal definición es independiente de la elección de la resolución inyectiva es bastante técnico y tedioso. Dado que Huybrechts ni siquiera menciona esta posible ambigüedad, tal vez estoy malinterpretando algunos de los lemas anteriores, y que de alguna manera implican que esto no es una preocupación.

Podemos definir el functor inducido $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ¿de manera que esta ambigüedad se resuelva sin los detalles del "Lemma Fundamental del Álgebra Homológica"?

Answer 1

Existe un functor $i:A\to D^+(A)$ compuesta a partir de la incrustación de $A$ en complejos de cadenas. Los funtores de Huybrechts sólo vienen de componer $R^nF$ con $i$ . No hay nada más en la definición que eso, en particular, no hay necesidad de mencionar las resoluciones inyectivas en este punto.

El trabajo de demostrar que esto está bien definido se desplaza, en relación con el punto de vista clásico, al trabajo de demostrar que $D^+A$ y $RF$ existe; después, es una trivialidad que dos resoluciones inyectivas cualesquiera de un objeto de $A$ son isomorfos en $D^+A$ y todo functor preserva los isomorfismos.