Hace lo contrario de el teorema de Tychonoff de la bisagra en el axioma de elección?

Question

El teorema de Tychonoff:$\phantom{---}$ Si $A$ es un no-vacío conjunto de índices y $X_{\alpha}$ es un no-vacío topológicos compactos espacio para cada $\alpha\in A$, $X\equiv\times_{\alpha\in A} X_{\alpha}$ es compacto en la topología producto.

Este teorema es conocido en el equivalente al axioma de elección.

Conversar de el teorema de Tychonoff:$\phantom{---}$ Si $X$ es no vacío, compacto y en el producto de la topología, a continuación, $X_{\alpha}$ es compacto para cada $\alpha\in A$.

Prueba:$\phantom{---}$ elija cualquiera de los $\alpha\in A$$x_{\alpha}\in X_{\alpha}$. Para cualquier otro $\beta\in A\setminus\{\alpha\}$, escoja una arbitraria $x_{\beta}\in X_{\beta}$. Construcción $\mathbf x\in X$ tal que $\pi_{\alpha}(\mathbf x)=x_{\alpha}$ $\pi_{\beta}(\mathbf x)=x_{\beta}$ cualquier $\beta\in A\setminus\{\alpha\}$, donde el $\pi_{\cdot}(\cdot)$ el valor de las coordenadas de los mapas. De ello se desprende que $x_{\alpha}\in \pi_{\alpha}(X)$, y, a su vez, que el $X_{\alpha}=\pi_{\alpha}(X)$. Desde las coordenadas de los mapas se continua por la misma construcción de la topología producto y $X$ es compacto, $X_{\alpha}$ es compacto.$\phantom{---}\blacksquare$

Aviso de que esta sencilla prueba hace uso del axioma de elección, lo que garantiza la existencia de $\mathbf x$. Lo que me estoy preguntando acerca de si es a la inversa de el teorema de Tychonoff que se puede probar en ZF sin AC (o más débil variantes de la misma)?

Gracias.

Answer 1

Si $X$ es no vacío, entonces no hay ninguna dependencia en el axioma de elección. Para ver esto, observe que $X_\alpha$ es un mapa continuo de $X$ con el mapa de proyección $\pi=\pi_\alpha(x)=x_\alpha$.

Esto se deduce del hecho de que si un producto $X=\prod_{i\in I}X_i$ es no vacío, entonces para cada a $x\in X_i$ hay una función de $f\in X$$f(i)=x$. Simplemente elija un elemento $g\in X$, que existe desde $X$ es no vacío, entonces para cada a $x\in X_i$ definir $f_x=(g\setminus\{\langle i,g(i)\rangle\})\cup\{\langle i,x\rangle\}$.

Esta $\pi$ es continua ya que dado $U\subseteq X_\alpha$ que está abierto, la preimagen de $U$ es el producto de $U_i$'s donde:$U_\alpha=U$$U_i=X_i$$i\neq\alpha$.

Y uno puede fácilmente demostrar que la imagen continua de un espacio compacto es compacto sin usar el axioma de elección.

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Si permites $X$ a estar vacío, esto es equivalente al axioma de elección. Elija cualquier familia infinita de conjuntos infinitos, cuyo producto está vacía, y las consideran con discretos topologías.