Puedo dibujar una mano de 13 a partir de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que no tengo una tarjeta de cada traje?

Question

Puedo dibujar una mano de 13 a partir de una baraja estándar de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que no tengo una tarjeta de cada traje?

Puedo contar el número de maneras en las que puedo dibujar 13 de 3 palos

$$\frac{{4\choose3}{39\choose13}}{52\choose13}$$

pero yo la mente de la intersección. Cada posible par de trajes que me hayas dibujado desde sólo se cuentan dos veces. Y en la posibilidad de que me escoger sólo un juego: cada posibilidad es contado tres veces.

$$\frac{{4\choose3}{39\choose13}-{4\choose2}{26\choose13}}{52\choose13}$$

Esto elimina la overcounted iteraciones de el par de trajes que me podría haber dibujado, pero ahora no estoy considerando la posibilidad de que me atrajo desde un solo traje, así que:

$$\frac{{4\choose3}{39\choose13}-{4\choose2}{26\choose13}+{4\choose1}{13\choose13}}{52\choose13}$$

cual es la probabilidad de que estoy buscando.

Es mi razonamiento sonido? He cometido algún error? Hay una solución mejor?

Answer 1

$\boxed{\color{green}{\checkmark}}$ Sí; por el Principio de Inclusión y Exclusión, de las formas de no dibujo desde todos los cuatro palos es:

• Incluyen: la $\binom{4}{1}\binom{52-13}{13}$ formas de seleccionar un juego y no sacar de esta, entonces
• Excluir: el $\binom{4}{2}\binom{52-26}{13}$ formas de seleccionar dos trajes y no sacar de los dos, entonces
• Incluyen: la $\binom{4}{3}\binom{52-39}{13}$ formas de seleccionar tres palos y no extraer de ellos.

Así que la probabilidad de hacer esto es, como usted obtiene:

$$\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{39}{13}-\dbinom{4}{2}\dbinom{26}{13}+\dbinom{4}{3}\dbinom{13}{13}}{\dbinom{52}{13}}$$

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NB $\binom{4}{1}=\binom{4}{3}$