Cómo encontrar los divisores primos de repunit $R_{13}$ y $R_{79}$ ?

Question

La cuestión es muy sencilla:

Encuentra un divisor primo de $\frac{(10^{13}-1)}{9}$ es decir $11\cdots11$ ( $13$ ), también conocido como $R^{(10)}_{13}$ ou $R_{13}$ . La misma pregunta para $R_{79}$ .

Por supuesto, calcular la respuesta con una calculadora es sencillo, pero no tengo ni idea de cómo abordarlo. Además, sabemos por el pequeño teorema de Fermats que $10^{12}=1 \pmod{13}$ pero no puedo aplicarlo a este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

$10^{13}-1$ es un divisor de $10^{52}-1$ por lo que cualquier divisor primo de $10^{13}-1$ también es un divisor primo de $10^{52}-1$ . Según Fermat, 53 es un divisor primo de $10^{52}-1$ por lo que vale la pena comprobar si 53 puede ser un divisor primo de $10^{13}-1$ .

Del mismo modo, para $10^{79}-1$ y 317.

Answer 2

Sea p un número primo no divisor de ( (a \pm b) )y que
gcd(a,b) = 1; entonces los factores primos de ( (a^p \pm b^p) ) que no están contenidas en ( (a \pm b) ) , sólo puede ser de la forma ( 2mp + 1 )