¿Encontrar una base de un espacio vectorial de dimensión infinita?

Question

El otro día, mi profesor estaba hablando de espacios vectoriales de dimensionalidad infinita y de las complicaciones que surgen al intentar encontrar una base para ellos. Mencionó que se ha demostrado que algunos (o todos, no recuerdo exactamente) los espacios vectoriales de dimensionalidad infinita tienen una base (el resultado utiliza un Axioma de Elección, si recuerdo correctamente), es decir, una lista infinita de vectores linealmente independientes, de tal manera que cualquier elemento en el espacio puede ser escrito como una combinación lineal finita de ellos. Sin embargo, mi profesor mencionó que en realidad encontrar uno es realmente complicado, y tuve la sensación de que era básicamente imposible, lo cual me recordó el paradoja de Banach-Tarski, donde es técnicamente 'posible' descomponer la esfera de una manera paradójica dada, pero eso no se puede exhibir. Entonces mi pregunta es, ¿la situación de la base es análoga a eso, o en realidad es posible encontrar explícitamente una base para espacios vectoriales de dimensionalidad infinita?

Answer 1

Se sabe que la afirmación de que todo espacio vectorial tiene una base es equivalente al axioma de elección, que es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Esto generalmente se interpreta como que en cierto sentido es imposible escribir una base "explícita" de un espacio vectorial de dimensión infinita arbitrario. Por otro lado,

• Algunos espacios vectoriales de dimensión infinita tienen bases fácilmente descriptibles; por ejemplo, a menudo estamos interesados en el subespacio generado por una secuencia contable $v_1, v_2, ...$ de vectores linealmente independientes en algún espacio vectorial $V$, y este subespacio tiene como base $\{ v_1, v_2, ... \}$ por diseño.
• Para muchos espacios vectoriales de dimensión infinita de interés, de todos modos no nos importa describir una base; a menudo vienen con una topología y por lo tanto podemos obtener mucho estudiando subespacios densos, algunos de los cuales, nuevamente, tienen bases fácilmente descriptibles. En espacios de Hilbert, por ejemplo, nos importan más las bases ortonormales (que no son bases de Hamel en el caso de dimensión infinita); estas abarcan subespacios densos de una manera particularmente agradable.

Answer 2

El "caso duro" es básicamente equivalente a este:

Encuentra una base para los números reales $\mathbb{R}$ sobre el campo de los números racionales $\mathbb{Q}$.

Los números reales son obviamente un campo de extensión de los números racionales, por lo que forman un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Debería quedar claro que tal base tiene que ser no numerable (porque si fuera numerable, los reales también serían numerables).

También debería quedar claro que tal base es un subconjunto de $\{1\} \cup \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. El problema es que el conjunto potencia de los reales es "tan grande" que ni siquiera está claro cómo nombrar los conjuntos a los que necesitamos aplicar el axioma de elección. Sin embargo, los subconjuntos linealmente independientes cumplen los requisitos para el Lema de Zorn, una forma del Axioma de Elección.

Una demostración relativamente fácil de seguir sobre la existencia de una base para cualquier espacio vectorial utilizando el Lema de Zorn se puede encontrar aquí: Enlace