Demuestra que $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $> 1$.

Question

Estoy tratando de demostrar que $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $> 1$. Debo admitir que soy completamente nuevo en la escritura de pruebas y no tengo experiencia en responder este tipo de preguntas. Sin embargo, se me ocurrió lo siguiente:

Dado que $\sqrt{4}=2$ y $\sqrt{9}=3$ tenemos la siguiente desigualdad: $2 < \sqrt{6} < 3$.

Por otro lado, tenemos que $\sqrt{1}=1$ y $\sqrt{4}=2$ por lo que tenemos $1 < \sqrt{2} < 2$.

Sea $n = \sqrt{6}-\sqrt{2}$,

Por lo tanto $ 11$.

¿Es esta una demostración correcta?

Gracias.

Answer 1

Desafortunadamente, no, tu prueba no es correcta. El límite $\sqrt{6} > 2$ combinado con el límite $\sqrt{2} < 2$ es demasiado débil: considera $2.1 > 2$ y $1.9 < 2$, mientras que su diferencia es mucho menor que $1$. De hecho, lo mejor que esto puede implicar es que $\sqrt{6} - \sqrt{2} > 0.

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Para un enfoque diferente, nota que tu desigualdad es equivalente a

$$\sqrt{6} > 1 + \sqrt{2}$$

Eleva ambos lados al cuadrado y mira qué sucede.

Answer 2

$$\sqrt{6}-\sqrt{2} = \frac{6-2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}= \frac{2}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}> \frac{2}{\sqrt{\frac{6+2}{2}}}=1$$

$\bf{Agregado:}$

$$\sqrt{6} - \sqrt{2} > \sqrt{6.25} - \sqrt{2.25} = 2.5 - 1.5 = 1$$ ya que la función $x\mapsto \sqrt{x}$ es cóncava.

Answer 3

Tenemos $\sqrt 6-\sqrt 2>1$ si y solo si $\sqrt 6>1+\sqrt 2.$ El cuadrado en el lado derecho de la desigualdad es $1+2+2\sqrt 2=3+2\sqrt 2$. La pregunta restante es ahora si $3\geq 2\sqrt 2$. Nuevamente, al elevar al cuadrado, esto es equivalente a $9\geq 8$ lo cual es válido.

Answer 4

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ es positivo porque $\sqrt{x}$ es mínima en $0$ y siempre aumenta en $x>0$.

Porque $x^2$ es $1$ en $x=1$ y siempre aumenta en $x>0$, los números mayores que 1 siguen siendo mayores que $1$ al elevarse al cuadrado, y $8-\sqrt{48}$ resulta de elevar al cuadrado $\sqrt{6}-\sqrt{2}\,$.

Dado que $8-\sqrt{49}=1$ y $\sqrt{49}$ excede a $\sqrt{48}$ según las propiedades de $\sqrt{x}$, se sigue que $\sqrt{6}-\sqrt{2} > 1$.

Answer 5

¿Qué tal algo así? ¿Por qué no averiguamos qué necesitamos que sea cierto para que la desigualdad se cumpla? Si llegamos a un lugar que sabemos que es cierto, todo lo que tenemos que hacer es empezar desde abajo y trabajar hacia atrás. Así que asumamos que es cierto y veamos qué sucede. $$\sqrt{6} - \sqrt{2} > 1$$ $$\Leftrightarrow \left(\sqrt{6} - \sqrt{2} \right)^2 > 1$$ $$\Leftrightarrow 6 - 2\sqrt{12} + 2 > 1$$ $$\Leftrightarrow 7 - 4\sqrt{3} > 0$$ $$\Leftrightarrow 7 > 4\sqrt{3}$$ $$\Leftrightarrow \frac{7}{4} > \sqrt{3}$$

¿Es cierta esta última línea? Por supuesto. $\frac{7}{4} = 1.75$ y $\sqrt{3} = 1.73\cdots < 1.75$. Ahora, simplemente comienza desde abajo (que sabemos es un hecho cierto) y trabaja hacia arriba para terminar con la desigualdad que te pide demostrar.