Hace la prueba de la de Poincaré-Birkhoff-Witt teorema de la necesidad de la identidad de Jacobi?

Question

El título lo dice. Supongamos que tengo un espacio vectorial $V$ equipada con un bilineal soporte tal que $[x,y]=-[y,x]$, y definir la envolvente universal de álgebra $U$ como de costumbre, a saber: el tensor de álgebra en $V$ modulo 2-sided ideal generado por

$$x\otimes y-y\otimes x=[x,y]$$

Entonces ordenó una base $\{x_i\}_{i\in I}$ $V$ dar lugar a un pedido de las bases de $U$:

$$\{\prod_{j=1}^tx_{i_j}^{k_j}\}_{i_1<i_2<\cdots<i_t, t\in\mathbb{N}}$$

Es esta la conclusión a la derecha?

No creo que la identidad de Jacobi es necesario en la prueba usual, pero acabo de leer un escrito por Paul Garrett (http://www.math.umn.edu/~garrett/m/álgebra/afp.pdf) que se utiliza, así que no estoy tan seguro de ello.

Answer 1

La identidad de Jacobi es necesario. De lo contrario, la conclusión de la AFP teorema es falso. Esto se discute en Bergman famoso artículo en el Diamante Lema.

Para un ejemplo simple, tome su "álgebra" a ser generados por $x$, $y$ y $z$, con $[x,y]=y$, $[x,z]=z$ y $[y,z]=x$. A continuación, en la "envolvente de álgebra", $x$ es cero.

Mucho más tarde: de hecho, el mapa de $\mathfrak g\to\mathcal U(\mathfrak g)$ a partir de un álgebra con un antisimétrica soporte de su envolvente álgebra construida como si $\mathfrak g$ fueron una Mentira álgebra ha núcleo precisamente el subespacio de $\mathfrak g$ usted necesita para matar con el fin de obtener la identidad de Jacobi.

Answer 2

La respuesta a la pregunta del título es "sí", y la respuesta del cuerpo a la pregunta es "no". El punto es que

• $U$ es un álgebra,
• álgebras de bajo colector automáticamente satisface la identidad de Jacobi, y
• AFP implica que cada Mentira álgebra incrusta en un álgebra de bajo colector.

Más explícitamente, si $V$ no satisface la identidad de Jacobi, entonces usted puede encontrar $x, y, z$ tal que $J(x, y, z) \neq 0$ (donde $J = 0$ es la identidad de Jacobi). Pero $J = 0$$U$, y esto conduce a un trivial dependencia lineal entre lo que los elementos que usted consigue cuando usted evalúe $J$$U$.