Deje $M$ ser un grupo abelian y deje $G$ ser un grupo que actúa en $M$ tal que $M$ $G$-operador de grupo, es decir, tenemos para $u, v \in M$ $g,h \in G$
(1) $u\cdot 1_G = u$
(2) $(ug)h = u(gh)$
(3) $(u+v)g = ug + vg$
Si $M$ $\mathbb F$- espacio vectorial, entonces decimos que la $G$ es lineal y el grupo de acción si también tenemos
(4) $(\lambda u)g = \lambda(ug)$
para $\lambda \in \mathbb F$ y $g \in G$, $u \in M$. En ambos casos, dependiendo del contexto, hablamos de $G$-módulos, esto también se menciona en los enlaces de la wikipedia artículo. Por $G$-módulo que quiero decir aquí que sólo (1), (2) y (3) mantenga pulsado.
¿Conoces algún ejemplo donde estas nociones son de hecho diferentes, es decir, un ejemplo en donde (1), (2) y (3) se mantiene, pero (4) falla?
Traté de deducir (4) de alguna manera, de la otra, mi enfoque: Vamos a $M$ $G$ ser dado de tal manera que sólo (1), (2) y (3) es verdadera. Entonces podemos extender esto a una acción de el anillo de grupo $\mathbb F[G]$ (el conjunto de formal sumas, funciones o $G \to \mathbb F$) por la definición de $$ v \cdot \left( \sum_{a_g} a_g g \right) := \sum_{g\in G} a_g (vg) $$ para $v \in M$. Aquí sólo hemos utilizado la acción de la $G$ $M$ y $V$ $\mathbb F$- espacio vectorial. Entonces podríamos insertar $\mathbb F \cdot 1_G \subseteq \mathbb F[G]$ y por (1) la inducida por la acción de $\mathbb F$ $\mathbb F[G]$ y de la que ya se ha dado coinciden, lo $\lambda v = v\lambda$ y \begin{align*} \lambda v & = \lambda (v \cdot 1_G) & \mbox{by (1)} \\ & = v \cdot (\lambda \cdot 1_G) & \mbox{Definition of extended action.} \\ \end{align*} Y teniendo esto (sólo un pensamiento, los cálculos están mal, en realidad) \begin{align*} (\lambda v) g & = (v(\lambda \cdot 1_G)) g & \mbox{by the above} \\ & = v( (\lambda \cdot 1_G)g ) & \mbox{by (2)} \\ & = v ( \lambda g ) & \mbox{computation in %#%#%}. \end{align*} Bueno, el paso en la segunda línea fue un poco de trampa, como (2) sólo se mantiene para los elementos del grupo, y no los elementos de $\mathbb F[G]$ como se aplica aquí. Así que esto podría no funcionar y que son de hecho diferentes, pero no puedo pensar en algún ejemplo?
