Entiendo que la medida exterior de Lebesgue en R no es contablemente aditivo. Pero si hay dos conjuntos disjuntos, ¿la medida exterior de su unión es igual a la suma de su medida exterior? ¿Puede alguien darme un contraejemplo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Utilice la inducción transfinita para construir 2 (o 2ℵ0 ) subconjuntos disjuntos Ai del intervalo unitario [0,1] , de tal manera que cada Ai tiene una intersección no vacía con cada subconjunto cerrado incontable de [0,1] . (Estos se llaman Los juegos de Bernstein .) Entonces cada Ai tiene medida exterior 1 al igual que la unión de todas las Ai .
Para un conjunto no medible, la medida exterior será necesariamente positiva. Por lo tanto, basta con considerar un subconjunto no medible por Lebesgue A del círculo, y que B sea su complemento en el círculo. Entonces la aditividad debe fallar para este par de conjuntos para el siguiente ejemplo.
Considere un conjunto A de representantes para clases de equivalencia bajo la acción de rotaciones racionales sobre el círculo (el ejemplo habitual de un conjunto no medible). Recordemos que el círculo es una unión contable de los conjuntos Aα que se obtiene al girar A por unos ángulos racionales α .
Dejemos que ϵ=μ(A)>0 donde μ es la medida exterior. Sea N=1+⌊1ϵ⌋ . Ahora toma N racional traduce de A , a saber A1,A2,…,AN . Todos ellos son disjuntos por construcción. Si μ satisface la aditividad finita, entonces la medida exterior total sería mayor que 1 : μ(A1∪⋯∪AN)=N⋅ϵ>1, lo que da lugar a la contradicción deseada. Esto demuestra que la medida exterior no es ni siquiera finitamente aditiva.