Preguntas en algunos mapas con anillos de adeles finitos y sus grupos de la unidad.

Question

En mucha de la literatura que he leído, sobre todo, el trato con automorphic formas y representaciones, adelic (doble) coset espacios son bastante ubicuo. Con frecuencia las personas se parecen a trabajar sólo con finito adeles, y tengo un par de preguntas acerca de algunos hechos básicos que parece implícito en la literatura, pero para los que no puede encontrar una referencia (tal vez porque son auto-evidentes para los autores). Debo añadir que creo que sé la respuesta a (algunos de) estas preguntas, pero no estoy super seguro acerca de ellos, y estoy esperando que un experto podría confirmar o refutar mis creencias.

Para establecer la notación para las preguntas, vamos a $K$ ser un campo de número con los números enteros $\mathscr{O}_K$, $\mathbf{A}_K$ su adele anillo, y $\mathbf{A}_K^\times$ el grupo de la unidad de $\mathbf{A}_K$ con su producto directo restringido topología (por lo que el idele grupo de $K$). El anillo finito de adeles $\mathbf{A}_{K,f}$ puede ser definido como el producto directo restringido $\prod_{v\nmid\infty}^\prime K_v$ de los no Arquimedianos terminaciones de $K$ con respecto a su entero anillos de $\mathscr{O}_v$. También tenemos el grupo finito de ideles (no estoy seguro si esto es una terminología estándar o no) $\mathbf{A}_{K,f}^\times$, que es el producto directo restringido $\prod_{v\nmid\infty}K_v^\times$ con respecto a la unidad grupos de $\mathscr{O}_v^\times$. Hay una natural continuo, surjective homomorphism $\mathbf{A}_K^\times\rightarrow\mathbf{A}_{K,f}^\times$ cuyo núcleo es el componente de Arquímedes $\prod_{v\mid\infty}K_v^\times$ incrustado en $\mathbf{A}_K^\times$ $1$'s en los no-lugares de Arquímedes. Mi primera pregunta:

(1) Es el grupo continuo isomorfismo $\mathbf{A}_K^\times/\prod_{v\mid\infty}K_v^\times\cong\mathbf{A}_{K,f}^\times$ un isomorfismo topológico de los grupos, es decir, bicontinuous?

Creo que la respuesta a (1) es "sí", porque me parece que el natural mapa de $\mathbf{A}_K^\times\rightarrow\mathbf{A}_{K,f}^\times$ es el estándar abierto básicos subgrupos en torno a la identidad de la fuente a la norma básica de abrir los subgrupos en torno a la identidad de la meta (me estoy refiriendo a las $S$-idele grupos donde $S$ es finito y contiene los primos Arquimedianos).

Suponiendo que estoy en lo correcto acerca de (1), y que el isomorfismo de (1) es compatible con la imagen de la diagonal de a $K^\times$ en ambos lados de la isomorfismo, mi impresión es que (a través de la ley de la reciprocidad) establecer un bijection entre subgrupos cerrados de $\mathbf{A}_{K,f}^\times/K^\times$ y abelian extensiones de $K$ cuales son unramified a los primos Arquimedianos, y por lo tanto, si sólo estoy interesado en tales extensiones, puede restringir la atención a lo finito ideles. Me preocupo un poco, sin embargo, que el hecho de que $K^\times$ no es discretos en $\mathbf{A}_{K,f}^\times$ podría causar problemas. Estoy muy interesada sobre todo en el caso de que $K$ es totalmente imaginario, sin embargo, y en este caso $K^\times$ es discreto en lo finito ideles, así que creo que todo funciona.

(2) Es mi impresión acerca de abelian extensiones de unramified en el infinito de los números primos correcta, al menos cuando se $K$ es totalmente imaginario?

Mi última pregunta es puramente algebraico. La notación $\hat{K}^\times$ aparece con frecuencia en los documentos que he leído, y es generalmente definido como $(K\otimes_\mathbf{Z}\hat{\mathbf{Z}})^\times$. Esto puede ser identificado con $(K\otimes_\mathbf{Q}(\mathbf{Q}\otimes_\mathbf{Z}\hat{\mathbf{Z}}))^\times$. Puedo verificar que los naturales anillo de mapa de $\mathbf{Q}\otimes_\mathbf{Z}\hat{\mathbf{Z}}\rightarrow\prod_p\mathbf{Q}_p$ induce un isomorfismo en $\mathbf{A}_{\mathbf{Q},f}$ (inyectividad es por el pensamiento de tensoring con $\mathbf{Q}$ como la localización). Así que cuando me tensor con $K$, me da una inyección de $\hat{K}\rightarrow\prod_p(K\otimes_\mathbf{Q}\mathbf{Q}_p)\cong\prod_p\prod_{v\mid p}K_v$, donde el segundo isomorfismo es estándar y canónica. Para mí es claro que la imagen de este mapa de tierras en $\mathbf{A}_{K,f}$. Mi pregunta final es:

(3) Es el natural inyectiva mapa de $\hat{K}\rightarrow\mathbf{A}_{K,f}$ un isomorfismo de anillos, es decir, surjective?

Creo que la respuesta es "sí", y que en realidad puede demostrar que el natural mapa de $K\otimes_{\mathscr{O}_K}\prod_{v\nmid\infty}\mathscr{O}_v\rightarrow\mathbf{A}_{K,f}$ es un isomorfismo (este es el análogo de la isomorfismo $\mathbf{Q}\otimes_\mathbf{Z}\hat{\mathbf{Z}}\cong\mathbf{A}_{\mathbf{Q},f}$), por lo que si sabía que $\prod_v\mathscr{O}_v$ podría ser identificado con $\mathscr{O}_K\otimes_{\mathbf{Z}}\hat{\mathbf{Z}}$ a través de la natural mapa, me gustaría hacer. Por "la natural mapa" me refiero a la composición de la isomorfismo $\mathscr{O}_K\otimes_\mathbf{Z}\hat{\mathbf{Z}}\rightarrow\prod_p(\mathscr{O}_K\otimes_\mathbf{Z}\mathbf{Z}_p)$ (el hecho de que este es un isomorfismo puede ser verificado por la elección de un $\mathbf{Z}$-base para $\mathscr{O}_K$) y el mapa de $\prod_p(\mathscr{O}_K\otimes_\mathbf{Z}\mathbf{Z}_p)\rightarrow\prod_p\prod_{v\mid p}\mathscr{O}_v$. Así que supongo que todo se reduce a si es o no el mapa de $\mathscr{O}_K\otimes_\mathbf{Z}\mathbf{Z}_p\rightarrow\prod_{v\mid p}\mathscr{O}_v$ es un isomorfismo. Esta no estoy seguro acerca de.

Answer 1

He aprendido mucho acerca de este material en Bruto del Algebraica de las Formas Modulares de papel y las referencias en él; él explica un montón de cosas de forma muy clara y da una guía útil para la década de 1960 la literatura.

(1) Sí, este morfismos es un isomorfismo topológico y la prueba es inmediata (escribe una base de abiertos de conjuntos). La afirmación más general es que restringido directa del producto es asociativo, así que si usted tiene un conjunto de espacios topológicos $\{X_i\}_{i \in I}$, cada uno dotado con una selección de un subconjunto $\{Y_i\}_{i \in I}$, e $I = \bigsqcup_{j \in J} I_j$ es una partición del conjunto de índices $I$, entonces no es un isomorfismo topológico $$ \sideset{}{'}\prod_{i \in I} X_i = \sideset{}{'}\prod_{j \in J}\left(\sideset{}{'}\prod_{i \in I_j} X_i\right), $$ donde el producto directo restringido significa "elementos de los productos que están en el distinguido subconjunto para todos, pero un número finito de índices". Esta formulación es ahora tan hiper-general que debe ser falso o completamente trivial, y, afortunadamente, es el último.

En especial los de $I$ a todos los primos de $K$, $J = \{0, 1\}$, $I_1$ = finito de los números primos, $I_2$ = infinito de los números primos, entonces podemos ver que $$ \mathbb{A}_K^\times = \mathbb{A}_{K,f}^\times \times \prod_{v \mid \infty} K_v^\times $$ como topológica de los grupos.

(2) Esto es casi correcta, pero una cosa que dicen que es un poco amplia de la marca. La imagen de $K^*$ en lo finito ideles es discreto sólo cuando K es $\mathbb{Q}$ o imaginario cuadrática, desde la intersección de la imagen con el conjunto compacto $\widehat{O}_K^\times$ es el grupo de la unidad, que es finito sólo en estos dos casos. Pero usted puede tomar su cierre y todo funciona.

(3) El resultado que usted desea en cuanto a los grupos de unidades, es cierto, y norma (véase por ejemplo, Ejercicio 4 en $\S$ II.8 de Neukirch de la Teoría Algebraica de números). Así que usted puede tratar $\widehat K$ como sólo otro nombre para $\mathbb{A}_{K, f}$.